Графики

Графики Семинары Задача 1 Условие Из городов А и В между которыми L = 120 км, одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины со скоростями $\vartheta_1 = 20$ км/ч и $\vartheta_2 = 60$ км/ч. Каждая машина, пройдя 120 км, остановилась. Через какое время t и на каком расстоянии S от города С, находящегося на полпути между А и В, встретятся автомашины? Задачу решить аналитически и графически. Построить график зависимости расстояния $l$ между машинами от времени t. Решение 1) Аналитический метод Условие встречи: координаты машин должны быть равны ($x_1=x_2$). Пусть город А находится в точке $x=0$, тогда город В в точке $x=L=120$. $$ x_1 = 0 + \vartheta_1 t_0 $$ $$ x_2 = L - \vartheta_2 t_0 $$ Приравниваем: $$\vartheta_1 t_0 = L - \vartheta_2 t_0$$ $$t_0(\vartheta_1 + \vartheta_2) = L $$ $$t_0 = \frac{L}{\vartheta_1 + \vartheta_2}$$ $$ t_0 = \frac{120 км}{(20+60) км/ч} = \frac{120 км}{80 км/ч} = 1,5 ч$$ За это время первая машина проедет расстояние: $$ x_1 = 20 \frac{км}{ч} \cdot 1,5 ч = 30 км $$ Город С находится на полпути, то есть в точке $L/2 = 60$ км. Расстояние от точки встречи до С: $$ S_{от С} = 60 км - 30 км = 30 км $$ 2) Графический метод 1) В момент времени $t_1 = 0$, расстояние между машинами $l_{12} = L = 120$ км. 2) Скорость сближения $\vartheta_{сбл} = \vartheta_1 + \vartheta_2 = 80$ км/ч. Время до встречи: $$ t_{сбл} = \frac{S_{сбл}}{\vartheta_{сбл}} = \frac{120 км}{80 км/ч} = 1,5 ч $$ В этот момент ($t=1,5$ ч) расстояние между машинами $l_{12}=0$. 3) Время движения до остановки для каждой машины: 2-ой авто: $t_{дв2} = \frac{120 км}{60 км/ч} = 2$ ч 1-ый авто: $t_{дв1} = \frac{120 км}{20 км/ч} = 6$ ч В промежутке от $t=1,5$ ч до $t=2$ ч (т.е. в течение 0,5 ч) машины удаляются друг от друга со скоростью $\vartheta_{сбл}$. Расстояние между ними к моменту $t=2$ ч: $$ S_{удал} = (\vartheta_1+\vartheta_2) \cdot 0,5 ч = 80 \frac{км}{ч} \cdot 0,5 ч = 40 км $$ 4) После $t=2$ ч вторая машина останавливается. В течение следующих 4 часов (до $t=6$ ч) движется только первая машина, проезжая: $$ S_{ост} = 20 \frac{км}{ч} \cdot 4 ч = 80 км $$ В момент времени $t=6$ ч, когда останавливается и первая машина, расстояние между ними составит: $$ l_{конечное} = 40 км + 80 км = 120 км $$ Ответ 1,5 ч; 30 км.