Электронагреватель

Задача 6

Условие

На открытой площадке находятся три одинаковые банки со льдом, в которые помещены одинаковые электрические нагревательные элементы. В некоторый момент эти элементы включают в три разные розетки с напряжениями U_1=380 В, U_2=220 В и U_3=127 В. В первой банке весь лёд растаял за t_1=2 мин, а во второй - за t_2=10 мин. За какое время t_3 растает весь лёд в третьей банке? Начальная температура льда во всех банках 0^{\circ} \mathrm{C} . Сопротивление нагревательного элемента не зависит от силы протекающего тока. Считайте, что в любой момент времени температура внутри каждой банки одинакова по всему объёму.

Решение

Количество теплоты, подводимое ко льду, складывается из количества теплоты, втекающего из окружающей среды через стенки банки, и количества теплоты, преобразованного нагревательным элементом из электроэнергии. Во время плавления льда его температура остается постоянной ( 0{ }^{\circ} \mathrm{C} ), поэтому и количество теплоты, ежесекундно подводимое ко льду через стенки банки, тоже постоянно. Обозначим его P_1 . Мощность тока нагревательного элемента равна \frac{U^2}{R} , где U- напряжение, подаваемое на нагревательный элемент, R - его сопротивление. Пусть для плавления всего льда, находящегося в банке, необходима энергия W . Тогда время плавления льда в банке найдем по формуле t_1=\frac{W}{P_1+\frac{U_1^2}{R}} ; t_2=\frac{W}{P_1+\frac{U_2^2}{R}} где t_1, t_2, U_1, U_2 - время и напряжение в случае с первой и второй банкой. Решая систему двух приведенных уравнений, найдем неизвестную величину P_1 , точнее произведение P_1 R_1=\frac{U_2^2 t_2-U_1^2 t_1}{t_1-t_2}=-2,44 \cdot 10^4 В^2 Таким образом, оказывается, что P_1<0 , т. е. теплота отводится ото льда в окружающую среду. Минимальное напряжение, достаточное для плавления льда (т. е. такое, что P_1+P_2>0 ), определяется выражением U_{\min }=\sqrt{-P_1 R}=156 В. Значит, нагревательный элемент, питаемый напряжением U_3=127 В , никогда не расплавит лед, находящийся в третьей банке.

Ответ нагревательный элемент никогда не расплавит лед.

Задача 7

Условие

Аккумулятор массой 5 кг, имеющий ЭДС 5 В, опустили полностью в дистиллированную воду на прочной нити, которая оказалась натянутой с силой 5 H. Если этому аккумулятору (без воды) сообщить количество теплоты 5 кДж, то он нагреется на 5 градусов. Когда же к этому аккумулятору подключили резистор, через него потек ток силой 5 A, напряжение на выводах аккумулятора уменьшилось на 5%, и через 5 минут аккумулятор немного нагрелся. Найдите:

1. среднюю плотность \rho аккумулятора;

2. среднюю удельную теплоёмкость c аккумулятора;

3. сопротивление R резистора;

4. изменение температуры \Delta t аккумулятора после 5 минут работы с нагрузкой, если потерями теплоты можно пренебречь. Плотность воды \rho_0=1 г/см ^3 , ускорение свободного падения g=10 \ м/с^2 .

Решение

Сила натяжения нити равна разности действующих на аккумулятор силы тяжести и силы Архимеда T=m g-\rho_0 g V=\left(\rho-\rho_0\right) g V=5 \ Н , где V - объём аккумулятора, m - его масса. Преобразуем это выражение

T=\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) \rho V g=\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) m g, \text { откуда } \frac{\rho_0}{\rho}=1-\frac{T}{m g}=0.9. Поэтому средняя плотность аккумулятора \rho=\rho_0 / 0,9 \approx 1.1 г/см { }^3 . Средняя удельная теплоёмкость аккумулятора равна отношению подведённого к нему количества теплоты к изменению его температуры и к массе m=5 \kappa г : c=\frac{5 \ кДж}{5 кг \cdot 5 ^{\circ} C}=200 \frac{\text { Дж }}{кг \cdot ^{\circ} C} При подключении резистора к аккумулятору напряжение на его выводах уменьшилось на 5% и стало равным 4,75 В. Сопротивление резистора найдём как отношение напряжения на выводах аккумулятора к силе текущего через резистор тока:

R=\frac{4.75 \text{ В}}{5 \mathrm{~A}}=0.95 \ Ом При работе с нагрузкой на внутреннем сопротивлении аккумулятора выделяется мощность (5 В-4.75 В) \cdot 5 \mathrm{ A}=1.25 Вт, которая идёт на нагревание аккумулятора. За 5 минут в аккумуляторе выделится количество теплоты Q=1.25 \ Вт \cdot 300 с =375 Дж, за счёт которого он нагреется на \Delta t=\frac{Q}{C m}=\frac{375 \ Дж}{200 \frac{Дж}{кг \cdot ^{\circ} C} \cdot 5 кг}=0.375 ^{\circ} C. Ответ 1. \rho \approx 1.1 г/см^3 ; 2. c=200 \frac{\text { Дж }}{кг \cdot ^{\circ} C} ; 3. R=0.95 \ Ом ; 4. 0.375 ^{\circ} C.

Задача 8

Условие

Лабораторная электроплитка, сопротивление спирали которой R=20 Ом, включена в сеть последовательно с резистором сопротивлением R_0=10 Ом. При длительном включении плитка нагрелась от комнатной температуры t_0=20^{\circ} \mathrm{C} до максимальной температуры t_1=52^{\circ} \mathrm{C} . До какой максимальной температуры t_x нагреется плитка, если параллельно ей включить ещё одну такую же плитку?

Решение

Количество теплоты, выделившееся в первом случае: I_1{ }^2 R=k\left(t_1-t_0\right) Где силу тока можно найти из закона Ома для участка цепи: I_1=\frac{U}{R+R_0} Следовательно \frac{U^2 R}{\left(R+R_0\right)^2}=k\left(t_1-t_0\right) Аналогично для второго случая:

I_2{ }^2 R=k\left(t_x-t_0\right) Где силу тока можно найти из закона Ома для участка цепи: I_2=\frac{1}{2} \frac{U}{\left(R / 2+R_0\right)} Подставляя, получим:

\frac{U^2 R}{4\left(R / 2+R_0\right)^2}=k\left(t_x-t_0\right) И, окончательно: \begin{gathered}

\frac{t_x-t_0}{t_1-t_0}=\frac{\left(R+R_0\right)^2}{4\left(R / 2+R_0\right)^2} \Rightarrow t_x-t_0=\left(t_1-t_0\right) \frac{\left(R+R_0\right)^2}{4\left(R / 2+R_0\right)^2} \\

t_x-t_0=\left(52^{\circ} \mathrm{C}-20^{\circ} \mathrm{C}\right) \frac{(20+10)^2}{4\left(\frac{20}{2}+10\right)^2}=32^{\circ} \mathrm{C} \frac{900}{1600}=18^{\circ} \mathrm{C} \\

t_x=38^{\circ} \mathrm{C}

\end{gathered} Ответ t_x=38^{\circ} \mathrm{C} .