Электронагреватель

Задача 4

Условие

Сопротивление R спирали зависит от температуры по закону R=R_0+\alpha\left(t-t_0\right) , где t - температура спирали, R_0=10 \ Ом, \alpha=40,0 \cdot 10^{-3} \ Ом /{ }^{\circ} \mathrm{C} , t_0=20^{\circ} \mathrm{C} . На спираль подаётся напряжение U=220 \ В , и за время \tau_1=100 мкс она нагревается от t_0 до t_1=80^{\circ} \mathrm{C} .

1. До какой температуры t_2 нагреется спираль за время \tau_2=334 мкс от момента включения?

2. Определите теплоёмкость спирали.

При данных температурах и временах излучением и теплоотдачей можно пренебречь.

Решение

По закону Джоуля-Ленца тепловая мощность, выделяющаяся на спирали, равна

N=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2}{R_0+\alpha\left(t-t_0\right)}. Поскольку излучение и теплоотдача не учитывается, то количество теплоты, выделившееся за малое время \Delta \tau , идет на увеличение температуры спирали на \Delta t градусов:

N \Delta \tau=C \Delta t. Поэтому

\frac{U^2}{C} \Delta \tau=R(t) \Delta t. С помощью графика зависимости R(t)=R_0+\alpha\left(t-t_0\right) найдем время нагревания до t_1 , так как оно пропорционально площади под этим графиком:

\frac{U^2}{C} \tau_1=\frac{R_0+\left(R_0+\alpha\left(t_1-t_0\right)\right)}{2} \cdot\left(t_1-t_0\right). Аналогично для нагревания до t_2 :

\frac{U^2}{C} \tau_2=\frac{R_0+\left(R_0+\alpha\left(t_2-t_0\right)\right)}{2} \cdot\left(t_2-t_0\right). Получаем:

C=\frac{2 U^2 \tau_1}{2 R_0\left(t_1-t_0\right)+\alpha\left(t_1-t_0\right)^2}=7,2 \cdot 10^{-3} \frac{\text { Дж }}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}. Исключая C , получаем квадратное уравнение:

\frac{\alpha}{2}\left(t_2-t_0\right)^2+R_0\left(t_2-t_0\right)-\frac{\tau_2}{\tau_1}\left(\frac{\alpha}{2}\left(t_1-t_0\right)^2+R_0\left(t_1-t_0\right)\right)=0. Откуда

t_2=188^{\circ} \mathrm{C}. (отрицательный корень не имеет физического смысла)

Ответ 1. t_2=188^{\circ} \mathrm{C} ; 2. 7,2 \cdot 10^{-3} \frac{\text { Дж }}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}.

Задача 5

Условие

Школьник Андрей проводит опыты с медной проволокой. Плотность меди составляет d = 8.92 г/ см ^3 , удельное сопротивление \rho = 1,72 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м, удельная теплоёмкость c = 380 Дж/(кг \left.\cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) .

A) Медную проволоку подсоединили к источнику напряжения 220 В. Какой должна быть длина проволоки, чтобы её температура увеличивалась каждую секунду на один градус Цельсия? Ответ представьте в метрах и округлите до второй значащей цифры.

В) Через медную проволоку круглого сечения пропускают ток 1 А. Каким должен быть диаметр проволоки, чтобы её температура увеличивалась каждую секунду на один градус Цельсия? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры.

Решение

А) Уравнение теплового баланса запишется в виде

\frac{U^2 S \Delta \tau}{\rho l} = c d l S \Delta T, при этом по условию \frac{\Delta T}{\Delta \tau} = 1 \frac{^{\circ} C}{с}. Из предыдущего уравнения:

l = \sqrt{\frac{U^2}{\rho cd(\Delta T/ \Delta \tau)}} = 910 \ м. Б) Уравнение теплового баланса запишется в виде

\frac{I^2 \rho l \Delta \tau}{S} = c d l S \Delta T, при этом по условию \frac{\Delta T}{\Delta \tau} = 1 \frac{^{\circ} C}{с}. Из предыдущего уравнения:

S = \sqrt{\frac{I^2 \rho}{cd(\Delta T/ \Delta \tau)}} = 7.1 \cdot 10^{-8} \ м^2. Выражая площадь круга:

\pi D^2 = 4S \ \Rightarrow \ D = \sqrt{\frac{4}{\pi}S} = 0.3 \ мм. Ответ A) l=910 \ м ; Б) D=0.3 \ мм.