Электронагреватель

Задача 4 Условие Сопротивление $R$ спирали зависит от температуры по закону $R=R_0+\alpha\left(t-t_0\right)$, где $t$ - температура спирали, $R_0=10 \ Ом, \alpha=40,0 \cdot 10^{-3} \ Ом /{ }^{\circ} \mathrm{C}$, $t_0=20^{\circ} \mathrm{C}$. На спираль подаётся напряжение $U=220 \ В$, и за время $\tau_1=100$ мкс она нагревается от $t_0$ до $t_1=80^{\circ} \mathrm{C}$. 1. До какой температуры $t_2$ нагреется спираль за время $\tau_2=334$ мкс от момента включения? 2. Определите теплоёмкость спирали. При данных температурах и временах излучением и теплоотдачей можно пренебречь. Решение По закону Джоуля-Ленца тепловая мощность, выделяющаяся на спирали, равна $$ N=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2}{R_0+\alpha\left(t-t_0\right)}. $$ Поскольку излучение и теплоотдача не учитывается, то количество теплоты, выделившееся за малое время $\Delta \tau$, идет на увеличение температуры спирали на $\Delta t$ градусов: $$ N \Delta \tau=C \Delta t. $$ Поэтому $$ \frac{U^2}{C} \Delta \tau=R(t) \Delta t. $$ С помощью графика зависимости $R(t)=R_0+\alpha\left(t-t_0\right)$ найдем время нагревания до $t_1$, так как оно пропорционально площади под этим графиком: $$ \frac{U^2}{C} \tau_1=\frac{R_0+\left(R_0+\alpha\left(t_1-t_0\right)\right)}{2} \cdot\left(t_1-t_0\right). $$ Аналогично для нагревания до $t_2$ : $$ \frac{U^2}{C} \tau_2=\frac{R_0+\left(R_0+\alpha\left(t_2-t_0\right)\right)}{2} \cdot\left(t_2-t_0\right). $$ Получаем: $$ C=\frac{2 U^2 \tau_1}{2 R_0\left(t_1-t_0\right)+\alpha\left(t_1-t_0\right)^2}=7,2 \cdot 10^{-3} \frac{\text { Дж }}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}. $$ Исключая $C$, получаем квадратное уравнение: $$ \frac{\alpha}{2}\left(t_2-t_0\right)^2+R_0\left(t_2-t_0\right)-\frac{\tau_2}{\tau_1}\left(\frac{\alpha}{2}\left(t_1-t_0\right)^2+R_0\left(t_1-t_0\right)\right)=0. $$ Откуда $$ t_2=188^{\circ} \mathrm{C}. $$ (отрицательный корень не имеет физического смысла) Ответ 1. $t_2=188^{\circ} \mathrm{C}$; 2. $7,2 \cdot 10^{-3} \frac{\text { Дж }}{{ }^{\circ} \mathrm{C}}.$ Задача 5 Условие Школьник Андрей проводит опыты с медной проволокой. Плотность меди составляет $d = 8.92$ г/ см$^3$, удельное сопротивление $\rho = 1,72 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м, удельная теплоёмкость $c = 380$ Дж/(кг $\left.\cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$. A) Медную проволоку подсоединили к источнику напряжения 220 В. Какой должна быть длина проволоки, чтобы её температура увеличивалась каждую секунду на один градус Цельсия? Ответ представьте в метрах и округлите до второй значащей цифры. В) Через медную проволоку круглого сечения пропускают ток 1 А. Каким должен быть диаметр проволоки, чтобы её температура увеличивалась каждую секунду на один градус Цельсия? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Решение А) Уравнение теплового баланса запишется в виде $$ \frac{U^2 S \Delta \tau}{\rho l} = c d l S \Delta T, $$ при этом по условию $$\frac{\Delta T}{\Delta \tau} = 1 \frac{^{\circ} C}{с}.$$ Из предыдущего уравнения: $$l = \sqrt{\frac{U^2}{\rho cd(\Delta T/ \Delta \tau)}} = 910 \ м.$$ Б) Уравнение теплового баланса запишется в виде $$ \frac{I^2 \rho l \Delta \tau}{S} = c d l S \Delta T, $$ при этом по условию $$\frac{\Delta T}{\Delta \tau} = 1 \frac{^{\circ} C}{с}.$$ Из предыдущего уравнения: $$S = \sqrt{\frac{I^2 \rho}{cd(\Delta T/ \Delta \tau)}} = 7.1 \cdot 10^{-8} \ м^2.$$ Выражая площадь круга: $$ \pi D^2 = 4S \ \Rightarrow \ D = \sqrt{\frac{4}{\pi}S} = 0.3 \ мм. $$ Ответ A) $l=910 \ м$; Б) $D=0.3 \ мм.$