Давление жидкости

Задача 1

Условие

В воду опущен конусообразный сосуд с приставным дном. Дно отпадает, если в сосуд налить масло, минимальная масса которого m_{min} = 200 г. Отпадет ли дно, если:

1) на центр дна сосуда поставить металлический цилиндр массой m_{ц} = 200 г.

2) В сосуд налить ацетон массой m_{а} = 200 г.

3) В сосуд налить соленую воду массой m_{с} = 200 г.

Плотность масла \rho_{м} = 0,90 г/см^3 . Плотность ацетона \rho_{а} = 0,79 г/см^3 . Плотность соленой воды \rho_{с.в} = 1,1 г/см^3 .

5 Решение

Стены “притапливают” жидкость

7 F_{от дна} = F_{на дно} F_{от дна} = m_{м}' g + F_{от стен} Очевидно, что F_{от дна} = m_{м} g m_{м}' g < m_{м} g

Т.е. сила давления масла зависит не только от веса налитого масла, но и от силы, с которой стенки действуют на масло. Чем выше столб масла, тем больше влияние оказывают стенки на него.

1) m_{цилиндр} = m_{масла} F_{от дна цилин} = m_{ц} g = m_{м} g F_{от дна масла} = m_{м} g + F_{от ст} Очевидно, что F_{от дна масла} > F_{от дна цилин} Не отпадет!

2) m_{ац} g = m_{м} g \rho_{ац} = 790 \frac{кг}{м^3}; \quad \rho_{м} = 900 \frac{кг}{м^3} \rho_{ац} S h_{ац} = \rho_{м} S h_{м} 790 h_{ац} = 900 h_{м} h_{ац} = \frac{900 h_{м}}{790} h_{ац} > h_{м} \downarrow F_{от стен ац} > F_{от стен масла} F_{от дна м} = m_{м} g + F_{от ст м} F_{от дна ац} = m_{ац} g + F_{от ст ац} F_{от дна ац} > F_{от дна м} Отпадет!

3) m_{с.в} g = m_{м} g \rho_{с} = 1100 \frac{кг}{м^3} \rho_{с.в} h_{с.в} = \rho_{м} h_{м} 1100 h_{с.в} = 900 h_{м} h_{с.в} = \frac{900 h_{м}}{1100} h_{с.в.} < h_{м} \downarrow F_{от стен с.в.} < F_{от стен масла} F_{от дна м} = m_{м} g + F_{от ст м} F_{от дна с.в.} = m_{с.в} g + F_{от ст с.в} F_{от дна с.в} < F_{от дна м} Не отпадет!

Ответ Не отпадет; Отпадет; Не отпадет

Задача 2

Условие

В нижней половине сферического сосуда находится соленая вода, а в верхней – керосин. Во сколько раз сила давления соленой воды на нижнюю половину сосуда больше, чем сила давления керосина на верхнюю половину сосуда? Плотность соленой воды \rho_{в} = 1,2 г/см^3 . Плотность керосина \rho_{к} = 0,8 г/см^3 . Объем шара V_{ш} = \frac{4}{3} \pi R^3 , \pi = 3,14 .

Решение

8 На керосин: F_1 + m_{к} g = N F_1 = N - m_{к} g

Где N = F_{дк} = \rho_{к} \cdot g \cdot R \cdot \pi R^2 = \rho_{к} g \pi R^3 m_{к} = \rho_{к} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \rho_{к} \pi R^3

тогда F_1 = \rho_{к} g \pi R^3 - \frac{2}{3} \rho_{к} \pi R^3 g F_1 = \frac{1}{3} \rho_{к} g \pi R^3

2) На соленую воду: F_2 = F_{дк} + m_{с} g = \rho_{к} g \pi R^3 + \frac{2}{3} \rho_{с} \pi R^3 g = g \pi R^3 \left( \rho_{к} + \frac{2}{3} \rho_{с} \right)

3) F_2 = F_{с}; \quad F_1 = F_{К} \frac{F_2}{F_1} = \frac{F_{с}}{F_{К}} = \frac{g \pi R^3 \left( \rho_{к} + \frac{2}{3} \rho_{с} \right)}{\frac{1}{3} \rho_{к} g \pi R^3} = \frac{3 \rho_{к} + 2 \rho_{с}}{\rho_{к}} = \frac{(3 \cdot 0.8 + 2 \cdot 1.2) \frac{г}{см^3}}{0.8 \frac{г}{см^3}} = 6

Ответ 6