Давление жидкости

Задача 4

Условие

В вертикально расположенном сосуде с сечениями S_1 и S_2 ( S_1 = 9S_2 ) находятся два невесомых поршня. Пространство между поршнями заполнено водой. Концы сосуда открыты в атмосферу. К верхнему поршню прикреплена пружина жесткостью k , к нижнему подвешен груз массой m . В начальный момент времени пружина не растянута, поршни закреплены, расстояние между поршнями h_0 . Найдите, на сколько просядет верхний поршень, если оба поршня отпустить.

13 Решение

14 Пусть пружина растянется на x \to на x опустится верхний поршень, тогда пуcть на y опустится нижний поршень.

1) Несжимаемость жидкости: x9S = yS y = 9x

2) Новое расстояние между поршнями: h = h_0 - x + y = h - x + 9x h = h_0 + 8x

Условие равновесия поршней: P_0 S = mg + PS \quad (1) - нижний P_1 9S + kx = P_0 9S \quad (2) - верхний P = P_1 + \rho g(h_0 + 8x) \quad (3) - связь давлений

Из (1) P = P_0 - \frac{mg}{S}

Из (2) P_1 = P_0 - \frac{kx}{9S}

Подставим в (3): P_0 - \frac{mg}{S} = P_0 - \frac{kx}{9S} + \rho g(h_0 + 8x) - \frac{mg}{S} = - \frac{kx}{9S} + \rho g h_0 + \rho g 8x x \left( \frac{k}{9S} - 8\rho g \right) = \frac{mg}{S} + \rho g h_0 x = \frac{\frac{mg}{S} + \rho g \cdot h_0}{\frac{k}{9S} - 8\rho g} = \frac{mg + \rho g \cdot h_0 \cdot S}{S} \cdot \frac{9S}{k - 9S \rho g 8} x = \frac{(mg + \rho g h_0 S)9}{k - 72 S \rho g}

Ответ x = \frac{(mg + \rho g h_0 S)9}{k - 72 S \rho g}