Давление жидкости

Задача 4 Условие В вертикально расположенном сосуде с сечениями $S_1$ и $S_2$ ($S_1 = 9S_2$) находятся два невесомых поршня. Пространство между поршнями заполнено водой. Концы сосуда открыты в атмосферу. К верхнему поршню прикреплена пружина жесткостью $k$, к нижнему подвешен груз массой $m$. В начальный момент времени пружина не растянута, поршни закреплены, расстояние между поршнями $h_0$. Найдите, на сколько просядет верхний поршень, если оба поршня отпустить. Решение Пусть пружина растянется на $x \to$ на $x$ опустится верхний поршень, тогда пуcть на $y$ опустится нижний поршень. 1) Несжимаемость жидкости: $$ x9S = yS $$ $$ y = 9x $$ 2) Новое расстояние между поршнями: $$ h = h_0 - x + y = h - x + 9x $$ $$ h = h_0 + 8x $$ Условие равновесия поршней: $$ P_0 S = mg + PS \quad (1) - нижний $$ $$ P_1 9S + kx = P_0 9S \quad (2) - верхний $$ $$ P = P_1 + \rho g(h_0 + 8x) \quad (3) - связь давлений $$ Из (1) $$ P = P_0 - \frac{mg}{S} $$ Из (2) $$ P_1 = P_0 - \frac{kx}{9S} $$ Подставим в (3): $$ P_0 - \frac{mg}{S} = P_0 - \frac{kx}{9S} + \rho g(h_0 + 8x) $$ $$ - \frac{mg}{S} = - \frac{kx}{9S} + \rho g h_0 + \rho g 8x $$ $$ x \left( \frac{k}{9S} - 8\rho g \right) = \frac{mg}{S} + \rho g h_0 $$ $$ x = \frac{\frac{mg}{S} + \rho g \cdot h_0}{\frac{k}{9S} - 8\rho g} = \frac{mg + \rho g \cdot h_0 \cdot S}{S} \cdot \frac{9S}{k - 9S \rho g 8} $$ $$ x = \frac{(mg + \rho g h_0 S)9}{k - 72 S \rho g} $$ Ответ $ x = \frac{(mg + \rho g h_0 S)9}{k - 72 S \rho g} $