Экономические нелинейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 5 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производит $t$ единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему $250$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,— $200$ рублей. Антон готов выделять $900\,000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? Решение. Пусть на первом заводе рабочие трудятся суммарно $x^2$ часов в неделю, а на втором — $y^2$ часов в неделю. Тогда на первом заводе будет произведено $x$ единиц товара, а на втором заводе будет произведено $y$ единиц товара, на оплату труда придется выделить $250x^2 + 200y^2$ рублей. Поскольку Григорий готов выделять в неделю $900\,000$ рублей на оплату труда рабочих, получаем уравнение $$ 250x^2 + 200y^2 =900\,000, $$ откуда $ y = \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5x^2}$. Количество единиц товара, которое можно произвести за неделю на этих двух заводах, равно $$ M = x + y = x + \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5x^2}. $$ Чтобы найти максимально возможное количество единиц товара, найдем производную и приравняем ее к нулю: $$ M'(x) = 1 +\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{-2x\cdot 5}{2\sqrt{18\,000 - 5x^2}} = 0, $$ откуда $x=40$ (отрицательный корень не подходит по смыслу). Определяя знак производной при положительных $x 60$, убеждаемся, что $x=40$ — точка максимума функции, при этом $M(40) = 40 + \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5\cdot40^2} = 90$. Ответ: $90$. Задача 6 На каждом из двух заводов работает по $100$ человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену $3$ детали $A$ или $1$ деталь $B$. На втором заводе для изготовления t деталей (и $A$, и $B$) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна $1$ деталь $A$ и 3 детали $B$. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену? Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекосмена (чел-см). На каждом заводе общий объем работ составит по 100 чел-см. Пусть на первом заводе $x$ чел-см выделяется на производство $3x$ деталей $A$, а $100-x$ чел-см — на производство $100-x$ деталей $B$. На втором заводе $t^2$ чел-см выделяется на производство $t$ деталей $A$ и $B$ вместе. Значит, $t^2=100$, откуда $t=10$ (отрицательный корень не подходит по смыслу). Значит, на втором заводе всего за смену произведут 10 деталей ($A$ и $B$ вместе). Пусть число произведенных на втором заводе деталей $A$ равно $y$, тогда число деталей $B$ на втором заводе будет равно $10-y$. Всего за смену изготавливается $3x+y$ деталей $A$ и $(100-x)+(10-y)$ деталей $B$. Так как для производства изделий нужны 1 деталь $A$ и 3 детали $B$, то $$ 3(3x+y)=100-x+(10-y), $$ откуда $x=11-0,4y$. Кличество $N$ изделий совпадает с количеством деталей $A$ и равно $$N=3x+y=3(11-0,4y)+y=33-0,2y.$$ Зависимость $N(y)$ оказывается линейной и монотонно убывающей. Значит, чтобы $N$ оказалось как можно больше, $y$ следует взять как можно меньше, то есть $y=0$. Тогда наибольшее возможное количество изделий равно $N_{max}=33$. Ответ: $33$.