Кредиты. Аннуитетные платежи часть 1

Задача 5 В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга. Найдите $r$, если известно, что если выплачивать по $777\,600$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $1\,317\,600$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года? Решение. Пусть (для удобства записи) $x=777\,600$, а $y=1\,317\,600$. Обозначим исходную сумму кредита $A$. Тогда при погашении кредита за $4$ года получаем, что через $1$ год сумма долга будет равна $$ A\left(1+\cfrac{r}{100}\right)- x = Ak - x,$$ где $k = 1+\cfrac{r}{100}$. Еще через 1 год сумма будет $$ (Ak - x)\cdot k - x$$ Через 4 года кредит будет выплачен, если будет выполнено соотношение $$(((Ak-x)k-x)k-x)k-x=0,$$ или $$ x\left(1 + k+ k^2 + k^3\right)=Ak^4.$$ Аналогично при выплате кредита за 2 года имеем $$ (Ak-y)k-y=0,$$ или $$y(1+k)=Ak^2.$$ Заметим, что $1 + k+ k^2 + k^3=\left(1+k\right) \left(1+k^2 \right)$. Поделив первое уравнение на второе, получим $$\cfrac{x}{y} \left(1+k^2 \right)=k^2,$$ откуда $$ k^2=\cfrac{x}{y - x}. $$ Для заданных значений $x$ и $y$ получаем, что $k^2 = 1,44$, откуда $k=1,2$, а $r=20%$. Ответ: $20$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $a%$), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по $328\,050$ рублей, то выплатит долг за $4$ года. Если по $587\,250$ рублей, то за $2$ года. Найдите $a$. Решение. Пусть (для удобства записи) $x=328\,050$, а $y=587\,250$. Обозначим исходную сумму кредита $A$. Тогда при погашении кредита за $4$ года получаем, что через $1$ год сумма долга будет равна $$ A\left(1+\cfrac{a}{100}\right)- x = Ak - x,$$ где $k = 1+\cfrac{a}{100}$. Еще через 1 год сумма будет $$ (Ak - x)\cdot k - x$$ Через 4 года кредит будет выплачен, если будет выполнено соотношение $$(((Ak-x)k-x)k-x)k-x=0,$$ или $$ x\left(1 + k+ k^2 + k^3\right)=Ak^4.$$ Аналогично при выплате кредита за 2 года имеем $$ (Ak-y)k-y=0,$$ или $$y(1+k)=Ak^2.$$ Заметим, что $1 + k+ k^2 + k^3=\left(1+k\right) \left(1+k^2 \right)$. Поделив первое уравнение на второе, получим $$\cfrac{x}{y} \left(1+k^2 \right)=k^2,$$ откуда $$ k^2=\cfrac{x}{y - x}. $$ Для заданных значений $x$ и $y$ получаем, что $k^2 = \cfrac{81}{64}$, откуда $k=\cfrac{9}{8}$, а $a=12,5%$. Ответ: $12,5$.