Кредиты. Дифференцированные платежи часть 1

Задача 1.7 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $1%$ по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмая выплата составила $108$ тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в 8-м $A-8x$, и так далее, в 14-м $A-14x$, а в 15-м $A-15x=0$, так как к концу 15-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=15x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=15x$, в первом $A-x=14x$, во втором $A-2x=13x$, и так далее, в 8-м $A-8x=7x$, и так далее, в 14-м $A-14x=x$, в 15-м $A-15x=0$. Так как процентная ставка равна $1%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $15x+0,01\cdot 15x$, во втором $14x+0,01\cdot 14x$, и так далее, в 8-м $8x+0,01\cdot 8x$, и так далее, в 14-м $2x+0,01\cdot 2x$ и в 15-м $x+0,01\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,01\cdot 15x$, во втором $x+0,01\cdot 14x$, и так далее, в 8-м $x+0,01\cdot 8x$, и так далее, в 14-м $x+0,01\cdot 2x$ и в 15-м $x+0,01\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $15x$ 1-й $15x+0,01\cdot 15x$ $x+0,01\cdot 15x$ $14x$ 2-й $14x+0,01\cdot 14x$ $x+0,01\cdot 14x$ $13x$ … … … … 8-й $8x+0,01\cdot 8x$ $x+0,01\cdot 8x$ $7x$ … … … … 14-й $2x+0,01\cdot 2x$ $x+0,01\cdot 2x$ $x$ 15-й $x+0,01\cdot x$ $x+0,01\cdot x$ $0$ Так как по условию 8-я выплата равна $108$ тыс. руб., то $S_8=x+0,08x=1,08x=108$ тыс. руб., откуда $x=100$ тыс. руб. Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для ее вычисления сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=15x+0,01\cdot(x+2x+\ldots +14x+15x)=15x+0,01\cdot \cfrac{x+15x}{2}\cdot 15=$$ $$=15x+0,01\cdot 8x\cdot 15=15x\cdot (1+0,08)=15S_8=15\cdot 108=1620\text { тыс. руб.},$$ где использована формула суммы арифметической прогрессии. Ответ: $1\,620\,000$ руб. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.8 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) 15 января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $4%$ по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые $7$ месяцев нужно выплатить банку $1008$ тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в 7-м $A-7x$, и так далее, в 13-м $A-13x$, а в 14-м $A-14x=0$, так как к концу 14-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=14x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=14x$, в первом $A-x=13x$, во втором $A-2x=13x$, и так далее, в 7-м $A-7x=7x$, и так далее, в 13-м $A-13x=x$, в 14-м $A-14x=0$. Так как процентная ставка равна $4%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $14x+0,04\cdot 14x$, во втором $13x+0,04\cdot 13x$, и так далее, в 7-м $8x+0,04\cdot 8x$, и так далее, в 13-м $2x+0,04\cdot 2x$ и в 14-м $x+0,04\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,04\cdot 14x$, во втором $x+0,04\cdot 13x$, и так далее, в 7-м $x+0,04\cdot 8x$, и так далее, в 13-м $x+0,04\cdot 2x$ и в 14-м $x+0,04\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $14x$ 1-й $14x+0,04\cdot 14x$ $x+0,04\cdot 14x$ $13x$ 2-й $13x+0,04\cdot 13x$ $x+0,04\cdot 13x$ $12x$ … … … … 7-й $8x+0,04\cdot 8x$ $x+0,04\cdot 8x$ $7x$ … … … … 13-й $2x...