Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 1.25. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ax^2- 2x +1 Решение В данном случае от значения параметра $a$ зависит не только метод решения, но тип неравенства. Действительно, при $a > 0$ ветви параболы направлены вверх, при $a $ a = 0$. В этом случае неравенство имеет совсем простой вид: $$ -2x +1 \frac{1}{2}. $$ Таким образом, получаем первый ответ: при $a = 0$ $ x > \frac{1}{2}$. Рассмотрим все остальные возможные случаи. Пусть сначала $a >0$, и ветви параболы направлены вверх. Для построения решения неравенства, удобно нарисовать параболу, а для этого нужно знать корни соответствующего квадратного уравнения. Выпишем дискриминант $\frac{D}{4} = 1 - a$ и рассмотрим случаи $D 0$: $ D 1$. Все точки параболы находятся выше оси абсцисс, поэтому решений у неравенства нет. То есть, при $a > 1$ решений нет. $ D = 0$ $\Longleftrightarrow$ $a = 1$. Парабола касается оси абсцисс в точке $x_0 = \frac{1}{a}$. В этом случае также нет точек параболы, лежащих ниже оси абсцисс, поэтому при $a = 1$ решений нет. Заметим, что эти два случая можно объединить в один. $ D > 0$ $\Longleftrightarrow$ $0 0$. Корни соответствующего квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - a}}{a}$. Нетрудно видеть, что при $0 $$\fbox{$x \in \left(\frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\right) при 0 Пусть теперь $a \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}$, поэтому решение примет вид $x \in \left(-\infty;\frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\right) \cup \left(\frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; + \infty\right)$ при $a Собирая теперь обведенные в рамки результаты для различных значений $a$, получаем окончательный ответ. Ответ если $a \in (-\infty; 0)$, то $x \in \left(-\infty; \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\right) \cup \left(\frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; + \infty\right)$; если $a = 0$, то $x \in \left( \frac{1}{2}; +\infty\right)$; если $a \in (0 ; 1)$, то $x \in \left(\frac{1 - \sqrt{1 - a}}{a}; \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{a}\right)$; если $a \in [ 1; +\infty)$, то решений нет. Задача 1.27. Условие Для всех $a$ решите неравенство $$ x^2+x+a\geqslant 0.$$ Решение Воспользуемся методом интервалов, рассмотрев два случая расположения корней. $$ \begin{aligned} 1) \qquad&D=1-4a>0 \quad \Leftrightarrow \quad a \in (-\infty ; 1/4), \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4a}}{2} \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad \fbox{$при a \in (-\infty; 1/4); \quad x \in (-\infty;\frac{-1 - \sqrt{1-4a}}{2}) \cup( \frac{-1 + \sqrt{1-4a}}{2}; +\infty).$} \end{aligned} $$ Случай 1 $$ \begin{aligned} 2) \qquad&D \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad a \in [1/4;+\infty) \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad \fbox{$при a \in [1/4;+\infty); \quad x \in \mathbb{R}.$} \end{aligned} $$ Случай 2 Ответ если $a \in \left[ \frac{1}{4};+\infty \right)$, то $x\in \mathbb{R}$; если $a \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right)$, то $x \in \left(-\infty; \frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\right]\cup \left[\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}; +\infty\right)$. Пример 1.28. Условие Для всех $a$ решите неравенство $$ (a - 1)x^2 - (3a-1)x + 6 \leqslant 0. $$ Решение Начнем с $a=1$. В этом случае неравенство из квадратного становится линейным: $$ -2x+6 \leqslant 0\Longleftrightarrow x\geqslant 3.$$ Для остальных $a$ неравенство является квадратным. Пусть $a\ne 1$. Дискриминант квадратного трехчлена равен $$ D=9a^2-30a+25=(3a-5)^2, $$ то есть представляет собой полный квадрат. Корни трехчлена равны $x_1=3$ и $x_2=\frac{2}{a-1}$. Рассмотрим $a>1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому искомая область расположена между корнями квадратного трехчлена. Возможны три случая расположения корней: $x_1=x_2$ при $\frac{2}{a-1}=3 \Longleftrightarrow a=\frac{5}{3}$, тогда решением является единственная точка $x=3$; $x_1 $x_1>x_2$ при $a>\frac{5}{3}$, тогда $x \in \left[\frac{2}{a-1}; 3 \right]$. Если $a x_2$, что нетрудно проверить. Ветви параболы направлены вниз, поэтому $x\in \left(-\infty;\frac{2}{a-1}\right] \cup [3;+\infty)$. Ответ если $a \in(-\infty;1)$, то $x\in \left(-\infty;\frac{2}{a-1}\right] \cup [3;+\infty)$; если $a=1$, то $x \in \left[ 3; + \infty \right)$; если $a \in \left( 1; \frac{5}{3}\right)$, то $x \in \left[3; \frac{2}{a-1}\right]$; если $a = \frac{5}{3}$, то $ x = 3$; если $a \in \left( \frac{5}{3}; + \infty \right)$, то $x \in \left[\frac{2}{a-1}; 3 \right] $.