Могилевский_И_Е__Стереометрия_с_1111

Задача 2.6 Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $D_1$ и $K$, где точка $K \in DCC_1$ и находится на равном расстоянии от ребер $DD_1$ и $CC_1$, а расстояния до ребер $D_1C_1$ и $DC$ относятся как $2:1$. Найдите длину отрезка, по которому это сечение пересекает грань $A_1B_1C_1$. Решение. Проведем отрезок, соединяющий середины ребер $DC$ и $D_1C_1$. Обозначим эти середины $M$ и $M_1$ соответственно (рис. 13). Так как точка $K$ равноудалена от ребер $DD_1$ и $CC_1$, она лежит на отрезке $MM_1$. По условию, отношение расстояний от $K$ до $D_1C_1$ и до $DC$ равно 2:1, значит $M_1K = \frac{2}{3}a$ и $MK = \frac{1}{3}a$. Проведем прямую $D_1K$. Ее пересечение с прямой $DC$ обозначим $P_1$. Рассмотрим треугольники $\triangle M_1KD_1$ и $\triangle MKP_1$. Они подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине $K$ и накрест лежащие углы, так как $D_1C_1 \parallel DC$). $$ \frac{MP_1}{M_1D_1} = \frac{MK}{M_1K} = \frac{a/3}{2a/3} = \frac{1}{2} $$ Так как $M_1D_1 = a/2$, получаем: $$ MP_1 = \frac{1}{2} M_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4} $$ Точка $P_1$ лежит на ребре $DC$, и $DP_1 = DM + MP_1 = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$. Соединяем точки $B$ и $P_1$. Отрезок $BP_1$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $ABCD$. Секущая плоскость пересекает параллельные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым. Поэтому проведем через точку $D_1$ прямую, параллельную $P_1B$. Точка пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ и будет четвертой вершиной сечения, обозначим ее $P_2$. Из параллельности и свойств куба следует, что $A_1P_2 = \frac{a}{4}$. Соединяем $P_2$ и $B$, что завершает построение сечения $BP_1D_1P_2$. Искомый отрезок, по которому сечение пересекает грань $A_1B_1C_1$ — это отрезок $P_2D_1$. Найдем его длину из прямоугольного треугольника $\triangle A_1P_2D_1$ по теореме Пифагора (так как $\angle D_1A_1P_2 = 90^\circ$): $$ P_2D_1 = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1P_2^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{4}. $$ Ответ: $\displaystyle \frac{a\sqrt {17}}{4}$. Задача 2.7 Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $M$ и $N$, где точка $M\in A_1D_1$, $A_1M=MD_1$, точка $N\in BB_1$, $NB=B_1 N$ и найдите периметр этого сечения, если ребро куба равно $1$. Решение. 1. Построение сечения. Соединяем точки $M$ и $D$, так как они заданы в условии. Так как плоскость сечения пересекает параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ по параллельным прямым, проведем через точку $N$ прямую, параллельную $MD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ обозначим $P_1$. Соединяем точки $P_1$ и $D$. Это линия пересечения плоскости с нижней гранью. Плоскость сечения пересекает параллельные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым. Поэтому через точку $M$ проведем прямую, параллельную $P_1D$. Точку пересечения этой прямой с ребром $A_1B_1$ обозначим $P_2$. Соединяем точки $P_2$ и $N$, которые лежат в одной грани $ABB_1A_1$. Построение завершено. Искомое сечение — пятиугольник $DMP_2NP_1$. 2. Расчет периметра. Найдем длины всех сторон пятиугольника. Ребро куба $a=1$. В $\triangle MD_1D$ (прямоугольном): $MD_1 = 1/2$, $D_1D = 1$. $$ MD = \sqrt{MD_1^2 + D_1D^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$ $\triangle P_1BN \sim \triangle MD_1D$ по двум углам, так как $NP_1 \parallel MD$. Коэффициент подобия $k = \frac{NB}{D_1D} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$. Отсюда $P_1B = k \cdot MD_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. $$ NP_1 = k \cdot MD = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4} $$ В $\triangle P_1CD$ (прямоугольном): $CD = 1$, $P_1C = 1 - P_1B = 1 - 1/4 = 3/4$. $$ P_1D = \sqrt{CD^2 + P_1C^2} = \frac{5}{4} $$ $\triangle A_1P_2M \sim \triangle P_1CD$ по двум углам, так как $MP_2 \parallel DP_1$. Коэффициент подобия $k' = \frac{A_1M}{P_1C} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$. $$ P_2M = k' \cdot P_1D = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} $$ Из подобия также находим $A_1P_2 = k' \cdot CD = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$. В $\triangle P_2B_1N$ (прямоугольном): $B_1N = 1/2$, $P_2B_1 = 1 - A_1P_2 = 1 - 2/3 = 1/3$. $$ P_2N = \sqrt{P_2B_1^2 + B_1N^2} = \sqrt{(1/3)^2 + (1/2)^2} = \frac{\sqrt{13}}{6} $$ Периметр $P$ равен сумме длин сторон: $$ P = MD + NP_1 + P_1D + P_2M + P_2N $$ $$ P = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6} = \frac{9\sqrt{5} + 25 + 2\sqrt{13}}{12}. $$ Ответ: $\displaystyle \frac{3\sqrt 5 + 5}{4} + \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$.