Кредиты. Аннуитетные и смешанные платежи

Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 270$ тыс. рублей, $k=1+\cfrac{10}{100}=1,1$, а первый платеж равен $x$. Поскольку банк начисляет проценты на остаток долга, а каждый последующий платеж в три раза больше предыдущего, получим уравнение $$((Ak-x)k-3x)k-9x=0,$$ откуда $$ x = \cfrac{Ak^3}{9+3k+k^2} =\cfrac{270\,000 \cdot (1,1)^3 }{9+3,3+(1,1)^2} = 26\,620.$$ Ответ: $26\, 620$ руб. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 6,6$ млн рублей, пусть $k=1+\cfrac{r}{100}$. Поскольку первые три года основной долг не уменьшается, это означает, что выплачиваются только проценты по кредиту, поэтому выплаты за первые три года (в млн рублей) $$ x_1 = x_2 = x_3 = A \cdot \cfrac{r}{100}=A(k-1). $$ Так как выплаты двух последующих лет равны и долг полностью погашен двумя равными платежами, то для двух последних платежей $y$ получим уравнение $$(A-kx)-x=0,$$ откуда $$x=\cfrac{Ak^2}{1+k}.$$ Общая сумма выплат равна (в млн рублей) $$ S=2x+3A(k-1)=\cfrac{2Ak^2}{1+k}+3A(k-1)=A\cfrac{5k^2-3}{k+1}=12,6,$$ откуда получим уравнение $$ 55k^2-21k-54=0.$$ Решая полученное уравнение, найдем $k=1,2$ (отрицательный корень не подходит), откуда $r=20%$. Ответ: $20%$. Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 804$ тыс. рублей, $k=1+\cfrac{10}{100}=1,1$, а последний (третий) платеж равен $y$. Поскольку каждый последующий платеж в два раза меньше предыдущего, то второй платеж равен $2y$, а первый — $4y$. Так как банк начисляет проценты на остаток долга, получим уравнение $$((Ak-4y)k-2y)k-y=0,$$ откуда $$ y = \cfrac{Ak^3}{1+2k+4k^2} =\cfrac{804\,000 \cdot (1,1)^3 }{1+2,2+4\cdot (1,1)^2} = 133\,100.$$ Ответ: $133\,100$ руб.