Финансовые задачи

Решение. Пусть ценные бумаги проданы в конце года $t$ за $t^2$ тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся $25 - t$ лет под $r%$ годовых. Тогда сумма на счете в конеце срока составит (в тыс. руб.) $$S(t) = t^2 \cdot (1+r)^{25 - t}.$$ Нужно определить наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных значений $t\leqslant 25$. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим $t_0$ — точку возможного экстремума: $$S'(t)=2t \cdot (1+r)^{25 - t}-t^2\cdot (1+r)^{25 - t}\ln (1+r)=0,$$ откуда $$t_0=\frac{2}{\ln (1+r)}.$$ Так как $S'(t)>0$ при $t t_0$, а в точке $t_0$ производная равна нулю, то $t_0$ — точка максимума, причем она единственная. Значит, функция $S(t)$ при увеличении $t$ ($t>0$) сначала возрастает, затем убывает. Поскольку нас интересует целый номер года $t$, то он не попадет в точку максимума, но будет где-то рядом. При этом если выгодно продать именно в год с номером $t$, то значение $t-1$ обязательно находится на промежутке возрастания функции $S(t)$, а значение $t+1$ — на промежутке ее убывания. Для гарантии того, что именно номер $t$ является оптимальным, нам достаточно потребовать выполнения двух условий: $$ \left\{\begin{array}{l} S(t+1) Ответ: $\left(\cfrac{43}{441};\cfrac{41}{400}\right)$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть ценные бумаги проданы в конце года $t$ за $t^2$ тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся $25 - t$ лет под $r%$ годовых. Тогда сумма на счете в конеце срока составит (в тыс. руб.) $$S(t) = 10t \cdot (1+r)^{25 - t}.$$ Нужно определить наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных значений $t\leqslant 25$. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим $t_0$ — точку возможного экстремума: $$S'(t)=10 \cdot (1+r)^{25 - t}-10t\cdot (1+r)^{25 - t}\ln (1+r)=0,$$ откуда $$t_0=\frac{1}{\ln (1+r)}.$$ Так как $S'(t)>0$ при $t t_0$, а в точке $t_0$ производная равна нулю, то $t_0$ — точка максимума, причем она единственная. Значит, функция $S(t)$ при увеличении $t$ ($t>0$) сначала возрастает, затем убывает. Поскольку нас интересует целый номер года $t$, то он не попадет в точку максимума, но будет где-то рядом. При этом если выгодно продать именно в год с номером $t$, то значение $t-1$ обязательно находится на промежутке возрастания функции $S(t)$, а значение $t+1$ — на промежутке ее убывания. Для гарантии того, что именно номер $t$ является оптимальным, нам достаточно потребовать выполнения двух условий: $$ \left\{\begin{array}{l} S(t+1) Ответ: $\left(\cfrac{1}{11};\cfrac{1}{10}\right)$.