Экономические нелинейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть на первом заводе рабочие трудятся суммарно $x^2$ часов в неделю, а на втором — $y^2$ часов в неделю. Тогда на первом заводе будет произведено $x$ единиц товара, а на втором заводе будет произведено $y$ единиц товара, на оплату труда придется выделить $250x^2 + 200y^2$ рублей. Поскольку Григорий готов выделять в неделю $900\,000$ рублей на оплату труда рабочих, получаем уравнение $$ 250x^2 + 200y^2 =900\,000, $$ откуда $ y = \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5x^2}$. Количество единиц товара, которое можно произвести за неделю на этих двух заводах, равно $$ M = x + y = x + \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5x^2}. $$ Чтобы найти максимально возможное количество единиц товара, найдем производную и приравняем ее к нулю: $$ M'(x) = 1 +\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{-2x\cdot 5}{2\sqrt{18\,000 - 5x^2}} = 0, $$ откуда $x=40$ (отрицательный корень не подходит по смыслу). Определяя знак производной при положительных $x 60$, убеждаемся, что $x=40$ — точка максимума функции, при этом $M(40) = 40 + \cfrac{1}{2}\sqrt{18\,000 - 5\cdot40^2} = 90$. Ответ: $90$. Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекосмена (чел-см). На каждом заводе общий объем работ составит по 100 чел-см. Пусть на первом заводе $x$ чел-см выделяется на производство $3x$ деталей $A$, а $100-x$ чел-см — на производство $100-x$ деталей $B$. На втором заводе $t^2$ чел-см выделяется на производство $t$ деталей $A$ и $B$ вместе. Значит, $t^2=100$, откуда $t=10$ (отрицательный корень не подходит по смыслу). Значит, на втором заводе всего за смену произведут 10 деталей ($A$ и $B$ вместе). Пусть число произведенных на втором заводе деталей $A$ равно $y$, тогда число деталей $B$ на втором заводе будет равно $10-y$. Всего за смену изготавливается $3x+y$ деталей $A$ и $(100-x)+(10-y)$ деталей $B$. Так как для производства изделий нужны 1 деталь $A$ и 3 детали $B$, то $$ 3(3x+y)=100-x+(10-y), $$ откуда $x=11-0,4y$. Кличество $N$ изделий совпадает с количеством деталей $A$ и равно $$N=3x+y=3(11-0,4y)+y=33-0,2y.$$ Зависимость $N(y)$ оказывается линейной и монотонно убывающей. Значит, чтобы $N$ оказалось как можно больше, $y$ следует взять как можно меньше, то есть $y=0$. Тогда наибольшее возможное количество изделий равно $N_{max}=33$. Ответ: $33$.