Кредиты. Аннуитетные платежи часть 1

Решение. Пусть (для удобства записи) $x=777\,600$, а $y=1\,317\,600$. Обозначим исходную сумму кредита $A$. Тогда при погашении кредита за $4$ года получаем, что через $1$ год сумма долга будет равна $$ A\left(1+\cfrac{r}{100}\right)- x = Ak - x,$$ где $k = 1+\cfrac{r}{100}$. Еще через 1 год сумма будет $$ (Ak - x)\cdot k - x$$ Через 4 года кредит будет выплачен, если будет выполнено соотношение $$(((Ak-x)k-x)k-x)k-x=0,$$ или $$ x\left(1 + k+ k^2 + k^3\right)=Ak^4.$$ Аналогично при выплате кредита за 2 года имеем $$ (Ak-y)k-y=0,$$ или $$y(1+k)=Ak^2.$$ Заметим, что $1 + k+ k^2 + k^3=\left(1+k\right) \left(1+k^2 \right)$. Поделив первое уравнение на второе, получим $$\cfrac{x}{y} \left(1+k^2 \right)=k^2,$$ откуда $$ k^2=\cfrac{x}{y - x}. $$ Для заданных значений $x$ и $y$ получаем, что $k^2 = 1,44$, откуда $k=1,2$, а $r=20%$. Ответ: $20$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть (для удобства записи) $x=328\,050$, а $y=587\,250$. Обозначим исходную сумму кредита $A$. Тогда при погашении кредита за $4$ года получаем, что через $1$ год сумма долга будет равна $$ A\left(1+\cfrac{a}{100}\right)- x = Ak - x,$$ где $k = 1+\cfrac{a}{100}$. Еще через 1 год сумма будет $$ (Ak - x)\cdot k - x$$ Через 4 года кредит будет выплачен, если будет выполнено соотношение $$(((Ak-x)k-x)k-x)k-x=0,$$ или $$ x\left(1 + k+ k^2 + k^3\right)=Ak^4.$$ Аналогично при выплате кредита за 2 года имеем $$ (Ak-y)k-y=0,$$ или $$y(1+k)=Ak^2.$$ Заметим, что $1 + k+ k^2 + k^3=\left(1+k\right) \left(1+k^2 \right)$. Поделив первое уравнение на второе, получим $$\cfrac{x}{y} \left(1+k^2 \right)=k^2,$$ откуда $$ k^2=\cfrac{x}{y - x}. $$ Для заданных значений $x$ и $y$ получаем, что $k^2 = \cfrac{81}{64}$, откуда $k=\cfrac{9}{8}$, а $a=12,5%$. Ответ: $12,5$.