Графические методы решения Часть 2

Пример 2.50. Условие Найдите все значения параметра $a$, такие, что для любого $x$ выполняется неравенство $$ |x + 1| + 2 |x + a| > 3 - 2x. $$ Решение Преобразуем неравенство, перенеся все слагаемые, не содержащие $a$, в правую часть: $$ 2|x + a| > 3 - 2x - |x + 1|. $$ Построим графики функций $y_1(x) = 3 - 2x - |x + 1|$, $y_2(x) = 2 |x + a|$ и выясним при каких $a$ второй график лежит выше первого при всех значениях $x$. Преобразуем выражение $y_1(x)$ так,чтобы оно не содержало модуль: $$ y_1(x) = \left\{ \begin{array}{l} 3 - 2x + x + 1, ~~ x \leqslant - 1, \\ 3 - 2x - x - 1, ~~ x > - 1, \\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow y_1(x) = \left\{ \begin{array}{l} 4 - x, ~~ x \leqslant - 1, \\ 2 - 3x, ~~ x > - 1. \\ \end{array}\right. $$ Графики функций $y_1(x)$ (сплошная линия) и $y_2(x)$ (пунктирная линия) изображены на рис. 11. Отметим, что при изменении $a$ <<галочка>> графика $y_2 = 2 |x + a|$ сдвигается влево или вправо вдоль оси $Ox$, сохраняя при этом угол наклона к оси. Найдем <<критическое>> значение $(-a)$, при котором графики функций имеют единственную общую точку (рис. 11). Из вида графика функции $y_1(x)$ ясно, что при движении $y_2(x)$ влево первой общей точкой графиков будет точка излома $y_1(x)$ $(-1;5)$, поскольку угловой коэффициент левой ветви графика $y_2(x) = 2|x + a|$ по модулю больше углового коэффициента левой части графика $y_1(x)$, но меньше углового коэффициента правой части. Выясним, при каком значении $(-a)$ левая ветвь графика $y_2(x) = 2|x + a|$ проходит через точку $(-1;5)$. Левая ветвь описывается уравнением $y = - 2(x + a)$, следовательно, $$ 5 = - 2 ( - 1 + a) ~ \Longleftrightarrow ~ - a = \frac{3}{2}. $$ При этом угловой коэффициент этой ветви больше либо равен угловым коэффициентам прямых, образующих график $y_1(x)$, следовательно, в этом случае выполняется требуемое неравенство для всех $x$. Ответ $a \in (- \infty; - 3/2)$. Задача 2.51. Условие Найдите все значения $a$ такие, что для любого $x$ выполняется неравенство $$ 2x + 2|x - a| + |x - 1| > 3. $$ Ответ $a \in (3/2; +\infty)$.