Замена переменной и решение относительно параметра

Решение относительно параметра В экзаменационных вариантах встречаются рациональные уравнения и неравенства высокой степени относительно неизвестной величины. Можно решать такие уравнения и неравенства с помощью разложения на множители, однако это часто связано с серьезными вычислительными проблемами: трудно угадать корни (как правило, они зависят от параметра) и применить метод деления уголком. Когда параметр входит в уравнение в более низкой степени, чем неизвестная величина (обычно во второй), то стоит попробовать решить такое уравнение относительно параметра. Если при этом значения $a$ удается выписать без радикалов, то полученная совокупность уравнений обычно оказывается значительно проще исходного уравнения. Пример 1.53. Условие Решите уравнение $$ x^4 + x^3 - 3ax^2 - 2ax + 2a^2 = 0, $$ где $a\geqslant 0$. Решение Относительно $a$ это уравнение будет квадратным. Преобразуем его и решим относительно $a$: $$ 2a^2 - \left( 3x^2 + 2x \right)a + x^4 + x^3 = 0, $$ $$ a_{1,2}=\frac{3x^2+2x \pm \sqrt{(3x^2+2x)^2-8x^4-8x^3}}{4}=\frac{3x^2+2x \pm \sqrt{x^4+4x^3+4x^2}}{4}= $$ $$ =\frac{3x^2+2x \pm (x^2+2x)}{4}. $$ $$a_1=x^2+x,~~a_2=\frac{x^2}{2}. $$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде $$ 2 \left( a-x^2-x \right)\left( a-\frac{x^2}{2} \right)=0 $$ Это уравнение эквивалентно совокупности уравнений $$ \left[\begin{array}{l} a-x^2-x=0,\\ 2a-x^2= 0. \end{array} \right.\\ $$ Решая оба уравнения относительно $x$, получаем четыре корня исходного уравнения: $$ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1+4a}}{2};~~x_{3,4}=\pm \sqrt{2a}. $$ Подкоренные выражения неотрицательны, так как по условию $a\geqslant 0$, следовательно, корни существуют. Ответ если $a \in ( 0; +\infty)$, то $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$, $x_{3,4} = \pm \sqrt{2a}$; если $a=0$, то $x_1 =-1$, $x_2=0$. Пример 1.55. Условие Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$ x^4-2x^3-4x^2+10x-5-2ax+6a-a^2=0$$ имеет не менее трех корней. Решение Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно параметра $a$: $$ -a^2+(6-2x)a+x^4-2x^3-4x^2+10x-5=0.$$ Его дискриминант $$\frac{D}{4}= 9-6x+x^2+x^4-2x^3-4x^2+10x-5=x^4-2x^3-3x^2+4x+4=$$ $$=x^2(x^2-2x-3)+4(x+1)=x^2(x+1)(x-3)+4(x+1)=$$ $$=(x+1)(x^3-3x^2+4)=(x+1)(x+1)(x-2)^2,$$ то есть представляет собой полный квадрат, как и предполагалось с самого начала. Таким образом, $ a=3-x\pm(x^2-x-2)$, откуда либо $a=5-x^2\Longleftrightarrow x^2=5-a$, либо $a=(x-1)^2$. Очевидно, что если $a>5$ или $a Ответ $[0;5]$.