Экономические нелинейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Строительство нового завода стоит $78$ млн. рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5 x^2+2x+6$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px- \left(0,5 x^2+2x+6 \right)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за $3$ года? Решение. Прибыль (в млн. рублей) за один год составляет $$ S= px -0,5 x^2 - 2x - 6= -0,5 x^2+(p-2)x-6. $$ Зависимость $S(x)$ определяется квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом, графиком ее была бы парабола с ветвями вниз. Поскольку по условию фирма работает так, что при данном значении $p$ ее прибыль максимальна, то объем производства она выбирает такой, который соответствует максимуму функции $S(x)$, то есть вершине параболы $x_{в}=\cfrac{-(p-2)}{-2\cdot 0,5}=p-2$. Наибольшее значение прибыли равно при этом $S_{max}=0,5(p-2)^2-6$. Чтобы строительство завода окупилось не более чем за три года, то есть чтобы за три года суммарная прибыль составила не менее $78$ млн. рублей, нужно, чтобы годовая прибыль $S_{max}$ оказалась не меньше $26$ млн. рублей, то есть $0,5(p-2)^2-6 \geqslant 26$ или $$ (p-10)(p+6) \geqslant 0. $$ Решая это неравенство, получим $p\leqslant -6$ (не подходит по смыслу) или $p\geqslant 10$ (естественно, рассматриваются только неотрицательные значения $p$). Значит, наименьшее значение $p_{min}=10$. Ответ: $10$.