Вклады часть 1

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.5 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Близнецы Саша и Паша положили в банк по $50\,000$ рублей на три года под $10%$ годовых. Однако через год, сразу после начисления процентов, Саша и Паша сняли со своих счетов соответственно $10%$ и $20%$ имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно $20\,000$ рублей и $15\, 000$ рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей? Решение. Пусть и Миша, и Маша положили на свои счета по $S$ рублей. Сначала рассмотрим счет Саши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег (обратите внимание, Саша снял $10%$ имеющихся к этому моменту средств, а не $10%$ исходной суммы!) у Саши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и снятия $20\,000$ руб. у Саши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1-20\,000$ рублей. Через 3 года у Саши было $S_1=\left( 50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1-20\,000 \right)\cdot 1,1$ рублей. Аналогично рассмотрим действия со счетом Паши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег (обратите внимание, Паша снял $20%$ имеющихся к этому моменту средств, а не $10%$ исходной суммы!) у Паши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и снятия $15\,000$ руб. у Паши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8\cdot 1,1-15\,000$ рублей. Через 3 года у Паши было $S_2=\left( 50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8\cdot 1,1-15\,000 \right)\cdot 1,1$ рублей. Тогда разница между суммами на счете у Саши и Паши через три года будет $$ S_1-S_2=50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,9-20\,000\cdot 1,1- \left( 50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,8-15\,000\cdot 1,1 \right)= $$ $$=50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,1-5000 \cdot 1,1=1155$$ Значит, через 3 года денег на счете будет иметь Саша, на $1155$ рублей. Ответ: у Саши, на $1155$ рублей. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.6 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В банк был положен вклад под $10%$ годовых. Через год хозяин вклада снял со счета $2000$ рублей, а еще через год снова внес $2000$ рублей. Однако вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик? Решение. Пусть вкладчик положил на свой счет $S$ рублей. Сначала рассмотрим фактическое состояние счета вкладчика. Через 1 год после начисления процентов и снятия $2000$ руб. на счете вкладчика было $S\cdot 1,1-2000$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и внесения $2000$ руб. на счете вкладчика было $(S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000$ рублей. Через 3 года на счете вкладчика было $S_1=( (S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000 )\cdot 1,1$ рублей. По плану (при отсутствии промежуточных операций) через 3 года на счете вкладчика должно было быть $S_2=S\cdot(1,1)^3$ рублей. Тогда разница между суммами на счете по плану и по факту через три года будет составлять $$ S_2-S_1=S\cdot(1,1)^3-\left(( (S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000 )\cdot 1,1 \right)= $$ $$=S\cdot(1,1)^3-S\cdot(1,1)^3+2000\cdot \left((1,1)^2-1,1\right)=220,$$ то есть через три года вкладчик получил на $220$ рублей меньше, чем планировал. Ответ: на $220$ рублей. Задача 1.7 В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке — $60%$ к текущей сумме на счете, во втором банке — $40%$ к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую долю денег вкладчик положил в первый банк? Решение. Пусть исходная сумма, которую вкладчик распределил между счетами в этих двух банках, равна $S$. Пусть доля денег, которую вкладчик положил в первый банк, равна $k$. Тогда в первый банк он положил сумму $kS$, а во второй — $(1-k)S$. Через 2 года сумма на счете в первом банке станет равной $kS\cdot (1,6)^2$, а во втором банке — $(1-k)S\cdot (1,4)^2$. Из условия, что суммарное количество денег на обоих счетах через два года должно удвоиться, получим уравнение $$kS\cdot (1,6)^2 + (1-k)S\cdot (1,4)^2 = 2S.$$ Сокращая на $S$ и решая полученное уравнение относительно $k$, найдем $k=\cfrac{1}{15}$. Ответ: $\cfrac{1}{15}$.