Уравнения и неравенства с параметрами

Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \left\{ {\begin{array}{l} \frac{x+ax+a}{x-2a-2} \geqslant 0, \\ x+ax>8 \end{array}} \right. $$ не имеет решений. Решение Начнём решать систему. Те случаи, когда решение точно есть, рассматривать не будем. Исследуем случай, когда решения может не быть. Очень удобно разделить обе части неравенства на $a+1$. Ради этого рассмотрим отдельно три случая: $$ 1) \qquad a+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=-1, $$ но второе неравенство при $a=-1$ решений не имеет, следовательно, не имеет и сумма. $$ \begin{aligned} 2) \qquad&a+1>0 \quad \Leftrightarrow \quad a>-1; \\ &\left\{ \begin{aligned} &\frac{x+\frac{a}{a+1}}{x-2(a+1)} \geq 0 \\ &x>\frac{8}{a+1} \end{aligned}\right. \end{aligned} $$ Случай 2 Правые "хвосты" обязательно перекроются, поэтому при $a>-1$ у системы точно есть решения. $$ \begin{aligned} 3) \qquad&a+1 Случай 3 Чтобы решения неравенств не перекрывались, нужно, чтобы $\frac{8}{a+1}$ не превосходило меньшего из корней. Потребуем, чтобы оно не превосходило обоих: $$ \left\{ \begin{aligned} &\frac{8}{a+1} \leq -\frac{a}{a+1} \\ &\frac{8}{a+1} \leq 2(a+1) \\ &a Ответ $[-3;-1]$.