Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения

Пример 3.9 В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 4$, $BC = 3$, $AA_1 = 2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $CC_1$ соответственно. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $K$. Докажите, что $B_1K:KC_1 = 2:1$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $APQ$. Решение. а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью $(APQ)$. Соединим точки $A$ и $P$, так как они принадлежат одной грани $AA_1B_1B$ (рис. [Fig_Stereo_2_37_s_1] ). Грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем $QP_1 \parallel AP$. Продлим прямую $AP_1$, лежащую в плоскости нижней грани $ABCD$, и прямую $BC$, также лежащую в плоскости нижнего основания, до их пересечения в точке $P_3$. Продлим $P_3Q$ до пересечения с ребром $B_1C_1$ в точке $K$. Рассмотрим подобные треугольники $\triangle P_1CP_3 \sim \triangle ABP_3$ (по двум углам). Из этого подобия следует отношение $\frac{CP_3}{BP_3} = \frac{CP_1}{BA} = \frac{1}{4}$. Отсюда $\frac{CP_3}{BC+CP_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4CP_3 = 3+CP_3 \Rightarrow 3CP_3=3 \Rightarrow CP_3=1$. Рассмотрим $\triangle CQP_3$ и $\triangle C_1QK$. Они равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $C_1K = CP_3 = 1$. Длина ребра $B_1C_1 = BC = 3$. Тогда $B_1K = B_1C_1 - KC_1 = 3 - 1 = 2$. Следовательно, отношение $\frac{B_1K}{KC_1} = \frac{2}{1} = 2:1$. б) Сечением является пятиугольник $APKQP_1$. Площадь этого сечения можно найти, вычитая из площади вспомогательной трапеции $APKP_3$ площадь $\triangle QP_1P_3$. Найдём длины сторон трапеции $APKP_3$: $\triangle CQP_3$, $QP_3 = \sqrt{1 + 1} = \sqrt 2$. Следовательно, $KQ = \sqrt 2$, поэтому $KP_3 = 2\sqrt 2$. $P$ — середина $A_1B_1$, $A_1P = \frac{1}{2}AB = 2$. В $\triangle AA_1P$: $AP = \sqrt{AA_1^2 + A_1P^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$. $B_1P = 2$, $B_1K = 2$. В $\triangle PB_1K$: $PK = \sqrt{PB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$. В $\triangle ABP_3$: $BP_3 = BC+CP_3 = 3+1=4$. $AP_3 = \sqrt{AB^2 + BP_3^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$. $APKP_3$ является равнобокой трапецией, так как $AP=KP_3$. Найдём её площадь. Основания: $PK=2\sqrt{2}$, $AP_3 = 4\sqrt{2}$. Боковая сторона $AP=2\sqrt{2}$. Провеведем высоты $PH_1$ и $KH_2$ (рис. [Fig_Stereo_2_37_s_2] ). $AH_1 = \frac{1}{2} (AP_3 - PK) = \frac{1}{2} \left( 4 \sqrt 2 - 2 \sqrt 2 \right) = \sqrt 2$. Высота трапеции: $PH_1 = \sqrt{AP^2 - AH_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2} = \sqrt{6}$. Площадь трапеции $S_{APKP_3} = \frac{PK+AP_3}{2}PH_1 = \frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\sqrt{6} = 6\sqrt{3}$. Чтобы получить искомую площадь сечения, из площади этой трапеции нужно вычесть площадь $\triangle P_1QP_3$. $\triangle P_1QP_3$ равносторонний со стороной $\sqrt{2}$, его площадь $S_{\triangle} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Искомая площадь сечения: $$ S_{сеч} = S_{APKP_3} - S_{\triangle P_1QP_3} = 6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2}. $$ Ответ: б) $\frac{11\sqrt{3}}{2}$. Задача 3.10 На ребре $BB_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $F$ так, что $B_1F:FB = 1:6$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB = 6\sqrt{2}$, $AD = 12$, $AA_1 = 14$. Докажите, что плоскость $FTD_1$ делит ребро $AA_1$ в отношении $2:5$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $FTD_1$. Решение. а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью $(FTD_1)$. Точки $F$ и $T$ принадлежат грани $BB_1C_1$, соединим их (рис. [Fig_Stereo_2_39_s_1] ). Поскольку боковые грани $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$ параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем $P_1D_1 \parallel FT$. $\angle B_1TF = \angle A_1D_1P_1$ как углы с сонаправленными сторонами. $\triangle P_1A_1D_1 \sim \triangle FB_1T$ по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: $$ \frac{P_1A_1}{FB_1} = \frac{A_1D_1}{B_1T} $$ Найдём длины отрезков из условия: $AA_1 = 14$ и $B_1F:FB = 1:6$, значит $FB_1 = \frac{1}{7}AA_1 = \frac{1}{7} \cdot 14 = 2$. $T$ — середина $B_1C_1$ и $B_1C_1 = AD = 12$, значит $B_1T = 6$. $A_1D_1 = AD = 12$. Подставим значения в пропорцию: $$ \frac{P_1A_1}{2} = \frac{12}{6} \implies P_1A_1 = 2 \cdot 2 = 4 $$ Тогда $AP_1 = AA_1 - P_1A_1 = 14 - 4 = 10$. Искомое отношение: $ \frac{P_1A_1}{AP_1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $, то есть $2:5$. б) Сечением является трапеция $P_1FTD_1$, так как $P_1D_1 \parallel FT$. Найдём её площадь. Для этого вычислим длины оснований и высоту. Основание $FT$. В прямоугольном $\triangle FB_1T$: $$ FT = \sqrt{FB_1^2 + B_1T^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}. $$ Основание $P_1D_1$. В прямоугольном $\triangle P_1A_1D_1$: $$ P_1D_1 = \sqrt{P_1A_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} =4\sqrt{10}. $$ Для нахождения высоты трапеции найдём длины боковых сторон и одной из диагоналей. Боковая сторона $P_1F$. Расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно $AB = 6\sqrt{2}$. Разность высот точек $P_1$ и $F$ равна $AF - AP_1 = (14-2) - 10 = 2$. $$ P_1F = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 +...