Могилевский_И_Е__Стереометрия_с_1111

Задача 2.4 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$, точки $L$ и $M$ — середины ребер $AA_1$ и $D_1C_1$ соответственно. а) Постройте сечение куба плоскостью $LB_1M$; б) Найдите площадь сечения. Решение. а) Построение сечения. Плоскость сечения проходит через точки $L$, $B_1$, $M$. Пересекая параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$, плоскость образует параллельные прямые. Таким образом, линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна $LM$. Проведем $LB_1 \parallel MP_1$. Соединяя точки $P_1$ и $L$ завершаем построение сечения. Сечением является трапеция $LB_1MP_1$, где $LB_1 \parallel MP_1$. б) Нахождение площади сечения. Найдем длины сторон трапеции. $\triangle B_1A_1L$: $$ LB_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1L^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}. $$ Из подобия $\triangle P_1D_1M \sim \triangle LA_1B_1$ (с коэффициентом 1/2) $P_1M = \frac{1}{2} LB_1 = \frac{a\sqrt{5}}{4}$. Боковые стороны: $$ P_1L = \sqrt{a^2 + a^2/16} = \frac{a\sqrt{17}}{4}, $$ $$ B_1M = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1M^2} = \sqrt{a^2+(a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}. $$ Для нахождения площади трапеции $S = \frac{1}{2}(LB_1 + P_1M)h$ нам нужна ее высота $h$ (рис. 84). Найдем ее через площадь треугольника $\triangle B_1LP_1$. Высота этого треугольника, опущенная из $P_1$ на основание $B_1L$, совпадает с высотой трапеции. Для этого найдем длину диагонали $B_1P_1$ и воспользуемся теоремой косинусов. $$ B_1P_1 = \sqrt{B_1D_1^2 + D_1P_1^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a/4)^2} = \frac{a\sqrt{33}}{4}. $$ Рассмотрим $\triangle B_1LP_1$. Пусть $\varphi = \angle LB_1P_1$. По теореме косинусов: $$ P_1L^2 = B_1L^2 + B_1P_1^2 - 2B_1L \cdot B_1P_1\cos\varphi $$ $$ \cos\varphi = \frac{B_1L^2 + B_1P_1^2 - P_1L^2}{2B_1L \dot B_1P_1} = \frac{(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{33}}{4})^2 - (\frac{a\sqrt{17}}{4})^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{33}}{4}} = \frac{9}{\sqrt{165}} $$ Теперь найдем синус угла $\varphi$: $$ \sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - \frac{81}{165}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{165}}. $$ Высота трапеции $h$ равна высоте треугольника $\triangle B_1LP_1$, опущенной из $P_1$: $$ h = B_1P_1 \sin\varphi = \frac{a\sqrt{33}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{165}} = \frac{a\sqrt{21}}{2\sqrt{5}}. $$ Наконец, найдем площадь трапеции: $$ S = \frac{1}{2} \left( LB_1 + P_1M \right) \cdot h = \frac{1}{2} \left( \frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{a\sqrt{5}}{4} \right) \cdot \frac{a\sqrt{21}}{2\sqrt{5}} = \frac{3a^2\sqrt{21}}{16}. $$ Ответ: а) рис. [Stereo_2_10.eps] ; б) $\displaystyle \frac{3a^2 \sqrt{21}}{16}$. Пример 2.5 Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $MNK$, где точка $M\in A_1B_1$, $A_1M = MB_1$, точка $N\in DD_1$, $\displaystyle ND = \frac{DD_1}{3}$, точка $K$ — пересечение прямых $D_1C$ и $C_1D$. Найдите длину отрезка прямой, по которому плоскость сечения пересекает грань куба $BB_1C_1$, сторона куба равна $a$. Решение. Точки $N$ и $K$ лежат в плоскости грани $DD_1C_1$ (рис.17), поэтому прямая $NK$ — линия пересечения плоскости $DD_1C_1$ и плоскости сечения, пересекающая ребро $CC_1$ в точке $P_1$. Так как плоскости $AA_1B_1$ и $DD_1C_1$ параллельны, то плоскость сечения пересекает их по паралленьным прямым. Проводя через точку $M$ прямую, параллельную $NK$, получаем точку $P_2$. Далее соединяем точки $P_2$ и $N$, поскольку они лежат в плоскости $AA_1D_1$. Плоскости $AA_1D_1$ и $BB_1C_1$ также параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает $BB_1C_1$ по прямой, параллельной $P_2 N$. Проведем $P_1P_3 \| P_2N$. Соединяя точки $M$ и $P_3$, завершаем построение сечения. Плоскость сечения пересекает грань $BB_1C_1$ по прямой $P_1P_3$. Найдем длину отрезка $P_1P_3$. Проведем через точку $K$ отрезок $Q_1Q_2 \parallel DC$ (рис. 17). $\triangle P_1KQ_2 = \triangle NKQ_1$, поэтому $\displaystyle P_1Q_2 = Q_1N = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{6}$. Продолжим $P_2M $ и $BB_1$ до пересечения в точке $B_2$. $\triangle KP_1Q_2 = \triangle MB_1B_2$, поэтому $\displaystyle B_1B_2 = Q_2P_1 = \frac{a}{6}$. На рис. 18 $\triangle P_1P_3C_1 \sim \triangle B_2P_3B_1$. Поскольку $C_1 P_1 = \frac{a}{3}$, $B_1B_2 = \frac{a}{6}$, то $P_3C_1 = \frac{2}{3} a$. Следовательно, $$ \displaystyle P_2P_1 = \sqrt{\left(\frac{2}{3}a\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt 5}{3}. $$ Ответ: $\displaystyle \frac{a\sqrt 5}{3}$.