Экономические нелинейные задачи часть 1

Решение. Поскольку для промышленности все равно, какой из металлов использовать, области могут быть оптимизированы независимо друг от друга. Поскольку в первой области производительность труда при добыче никеля в три раза выше, чем при добыче алюминия, то в первой области выгоднее добывать никель. Тогда в первой области будет добыто $M_1 = 160 \cdot 5\cdot 0,3 = 240$ кг никеля. Во второй области $x^2$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $y^2$ чел-ч — на добычу никеля. При этом $x^2+y^2=160\cdot 5 =800$. В соответствии с условием, во второй области добываются $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля. Нам нужно найти максимально возможное значение добываемой во второй области массы металла $M_2=x+y$. Сформулируем эту задачу как задачу с параметром. Рассмотрим выражение для массы сплава вместе с уравнением связи $x$ и $y$ $$ \left\{\begin{array}{l} M_2 = x+y,\\ x^2+y^2=800,\\ \end{array} \right. $$ а также с ограничениями $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$. Нам нужно найти наибольшее возможное значение $M_2$, при котором есть решение системы с неотрицательными значениями $x$ и $y$. Решим эту задачу графически. Второе уравнение задает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{800}$ (четверть окружности с учетом ограничений на $x$ и $y$). Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $-1$, положение которой зависит от значения параметра $M_2$. Наибольшее значение $M_2$, при котором есть решение системы, соотвествует такому положению прямой, в котором она касается дуги окружности. Используем геометричесий подход: проводя радиус в точку касания и вычисляя длину гипотенузы равнобедренного прямоуольного треугольника, найдем $M_{2max} = 40$. Чтобы найти полную массу добытых металлов, прибавим к $M_{2max}$ массу $M_1$ никеля, добытого на первой шахте. Отсюда полная масса $240+40=280$ кг. Ответ: $280$.