Кредиты. Аннуитетные платежи часть 1

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Обозначим сумму, полученную в кредит, как $A$, а ежегодный платеж — $ x $. Процентная ставка равна $r=12,5%$. Введем также коэффициент $k=1+\cfrac{r}{100}=1,125=\cfrac{9}{8}$. Савелий выплатил долг тремя равными платежами. Через год после начисления процентов сумма долга была $Ak$, а после того, как Савелий совершил платеж, она равнялась $Ak-x$. Через год операция повторилась, но уже с суммой долга, равной $Ak-x$, и новая сумма долга после начисления процентов и выплаты равнялась $(Ak-x)k-x$. Еще через год после очередного начисления процентов Савелий погасил кредит, то есть $$ ((Ak-x)k-x)k-x=0,$$ откуда $$ x=\cfrac{Ak^3}{k^2+k+1},$$ а общая сумма выплат составила $3x$. Если бы Савелий выплатил долг двумя равными платежами величины $y$, то имело бы место уравнение $$(Ak-y)k-y=0,$$ откуда $$y=\cfrac{Ak^2}{k+1},$$ а общая сумма выплат в этом случае составила бы $2y$. Выгода Савелия в случае выплаты кредита двумя равными платежами составила бы $3x-2y$. Подставляя $k=1,125=\cfrac{9}{8}$, $A=7\,378\,000$ руб., найдем $3x-2y=506\,250$ руб. Отметим, что наибольшую трудность в этой (и во многих аналогичных задачах) представляют вычисления, которые в рамках экзамена приходится выполнять без калькулятора. Для упрощения вычислений рекомендуем, во-первых, работать с обыкновенными дробями вместо десятичых (в частности, при вычислениях с коэффициентом $k$); во-вторых, раскладывать на множители числа, которые даны по условию (как правило, они подбираются таким образом, чтобы при вычислениях что-то могло сократиться). Ответ: $506\,250$ руб.