Кредиты. Дифференцированные платежи часть 3

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A=1240$ тыс. руб. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$. В первые 2 месяца долг уменьшается на величину $x=220$ тыс. руб., затем каждый из $n$ последующих месяцев — на величину $a$. К концу $(n+2)$-го месяца долг будет полностью погашен, то есть остаток долга станет равен нулю. Значит, $A-2x-na=0$, откуда $2x+na=A=1240$ тыс. руб., и остатки долга в каждом месяце мы сможем выразить через $x$ и $a$. Проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Исходя из этих соображений, заполним таблицу. долг с % выплаты остаток долга 0-й $2x+na$ 1-й $2x+na+0,015\cdot (2x+na)$ $x+0,015\cdot (2x+na)$ $x+na$ 2-й $x+na+0,015\cdot (x+na)$ $x+0,015\cdot (x+na)$ $na$ 3-й $na+0,015\cdot na$ $a+0,015\cdot na$ $(n-1)a$ … … … … $(n+1)$-й $2a+0,015\cdot 2a$ $a+0,015\cdot 2a$ $a$ $(n+2)$-й $a+0,015\cdot a$ $a+0,015\cdot a$ $0$ Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда (в тыс. руб.) $$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n+1}+S_{n+2}=2x+na+0,015\cdot(a+2a+\ldots +na)+0,015\cdot (3x+2na)=$$ $$=A+0,015na\cdot\cfrac{1+n}{2}+0,015(2A-x)=1240+6(1+n)+33,9=1519,9,$$ где учтено, что $na=A-2x=1240-2\cdot220=800$ тыс. руб., $3x+2na=2A-x=2260$ тыс. руб., а также использована формула суммы арифметической прогрессии. В результате из полученного уравнения мы найдем $n=40$. Ответ: $40$.