Кредиты. Дифференцированные платежи часть 1

Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в 12-м $A-12x$, в 13-м $A-13x$, и так далее, в 23-м $A-23x$, а в 24-м $A-24x=0$, так как к концу 24-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=24x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=24x$, в первом $A-x=23x$, во втором $A-2x=22x$, и так далее, в 12-м $A-12x=12x$, в 13-м $A-13x=11x$, и так далее, в 23-м $A-23x=x$, в 24-м $A-24x=0$. Так как процентная ставка равна $2%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $24x+0,02\cdot 24x$, во втором $23x+0,02\cdot 23x$, и так далее, в 12-м $13x+0,02\cdot 13x$, в 13-м $12x+0,02\cdot 12x$, и так далее, в 23-м $2x+0,02\cdot 2x$ и в 24-м $x+0,02\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,02\cdot 24x$, во втором $x+0,02\cdot 23x$, и так далее, в 12-м $x+0,02\cdot 13x$, в 13-м $x+0,02\cdot 12x$, и так далее, в 23-м $x+0,02\cdot 2x$ и в 24-м $x+0,02\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $24x$ 1-й $24x+0,02\cdot 24x$ $x+0,02\cdot 24x$ $23x$ 2-й $23x+0,02\cdot 23x$ $x+0,02\cdot 23x$ $22x$ … … … … 12-й $13x+0,02\cdot 13x$ $x+0,02\cdot 13x$ $12x$ 13-й $12x+0,02\cdot 12x$ $x+0,02\cdot 12x$ $11x$ … … … … 23-й $2x+0,02\cdot 2x$ $x+0,02\cdot 2x$ $x$ 24-й $x+0,02\cdot x$ $x+0,02\cdot x$ $0$ Пусть $S_1$ — общая сумма выплат за первый год, то есть за первые 12 месяцев. Для ее вычисления сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами в первых 12 строках, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S_1=12x+0,02\cdot(13x+14x+\ldots +23x+24x)=$$ $$=\cfrac{1}{2}A+0,02\cdot \cfrac{13x+24x}{2}\cdot 12=\cfrac{1}{2}A+0,01\cdot 37x\cdot 12=\cfrac{1}{2}A+\cfrac{1}{2}A\cdot0,37,$$ где учтено, что $A=24x$, а также использована формула суммы арифметической прогрессии. По условию $A=1,2$ млн руб., значит $\cfrac{1}{2}A=600$ тыс. руб. Тогда $S_1=600+600\cdot 0,37=822$ тыс руб.. Ответ: $822$ тыс. руб. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим месяц, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый месяц уменьшается остаток долга. В нулевом месяце остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в 12-м $A-12x$, в 13-м $A-13x$, и так далее, в 23-м $A-23x$, а в 24-м $A-24x=0$, так как к концу 24-го месяца долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=24x$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом месяце равен $A=24x$, в первом $A-x=23x$, во втором $A-2x=22x$, и так далее, в 12-м $A-12x=12x$, в 13-м $A-13x=11x$, и так далее, в 23-м $A-23x=x$, в 24-м $A-24x=0$. Так как процентная ставка равна $3%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом месяце долг с процентами будет равен $24x+0,03\cdot 24x$, во втором $23x+0,03\cdot 23x$, и так далее, в 12-м $13x+0,03\cdot 13x$, в 13-м $12x+0,03\cdot 12x$, и так далее, в 23-м $2x+0,03\cdot 2x$ и в 24-м $x+0,03\cdot x$. Выплаты в каждый месяц представляют собой разность между долгом с процентами в этом месяце и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом месяце равна $x+0,03\cdot 24x$, во втором $x+0,03\cdot 23x$, и так далее, в 12-м $x+0,03\cdot 13x$, в 13-м $x+0,03\cdot 12x$, и так далее, в 23-м $x+0,03\cdot 2x$ и в 24-м $x+0,03\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $24x$ 1-й $24x+0,03\cdot 24x$ $x+0,03\cdot 24x$ $23x$ 2-й $23x+0,03\cdot 23x$ $x+0,03\cdot 23x$ $22x$ … … … … 12-й $13x+0,03\cdot 13x$ $x+0,03\cdot 13x$ $12x$ 13-й $12x+0,03\cdot 12x$ $x+0,03\cdot 12x$ $11x$ … … … … 23-й $2x+0,03\cdot 2x$ $x+0,03\cdot 2x$ $x$ 24-й $x+0,03\cdot x$ $x+0,03\cdot x$ $0$ Пусть $S_1$ — общая сумма выплат за первый год, то есть за первые 12 месяцев. Для ее вычисления сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами в первых 12 строках, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S_1=12x+0,03\cdot(13x+14x+\ldots +23x+24x)=$$ $$=\cfrac{1}{2}A+0,03\cdot \cfrac{13x+24x}{2}\cdot 12=\cfrac{1}{2}A+0,03\cdot \cfrac{37}{2}\cdot x\cdot 12=\cfrac{1}{2}A+\cfrac{1}{4}A\cdot 0,03\cdot 37,$$ где учтено, что $A=24x$, а также использована формула суммы арифметической прогрессии. По услови...