Вклады часть 1

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть и Миша, и Маша положили на свои счета по $S$ рублей. Сначала рассмотрим счет Саши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег (обратите внимание, Саша снял $10%$ имеющихся к этому моменту средств, а не $10%$ исходной суммы!) у Саши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и снятия $20\,000$ руб. у Саши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1-20\,000$ рублей. Через 3 года у Саши было $S_1=\left( 50\,000\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1-20\,000 \right)\cdot 1,1$ рублей. Аналогично рассмотрим действия со счетом Паши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег (обратите внимание, Паша снял $20%$ имеющихся к этому моменту средств, а не $10%$ исходной суммы!) у Паши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и снятия $15\,000$ руб. у Паши на счете было $50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8\cdot 1,1-15\,000$ рублей. Через 3 года у Паши было $S_2=\left( 50\,000\cdot 1,1\cdot 0,8\cdot 1,1-15\,000 \right)\cdot 1,1$ рублей. Тогда разница между суммами на счете у Саши и Паши через три года будет $$ S_1-S_2=50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,9-20\,000\cdot 1,1- \left( 50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,8-15\,000\cdot 1,1 \right)= $$ $$=50\,000\cdot (1,1)^3\cdot 0,1-5000 \cdot 1,1=1155$$ Значит, через 3 года денег на счете будет иметь Саша, на $1155$ рублей. Ответ: у Саши, на $1155$ рублей. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Пусть вкладчик положил на свой счет $S$ рублей. Сначала рассмотрим фактическое состояние счета вкладчика. Через 1 год после начисления процентов и снятия $2000$ руб. на счете вкладчика было $S\cdot 1,1-2000$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и внесения $2000$ руб. на счете вкладчика было $(S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000$ рублей. Через 3 года на счете вкладчика было $S_1=( (S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000 )\cdot 1,1$ рублей. По плану (при отсутствии промежуточных операций) через 3 года на счете вкладчика должно было быть $S_2=S\cdot(1,1)^3$ рублей. Тогда разница между суммами на счете по плану и по факту через три года будет составлять $$ S_2-S_1=S\cdot(1,1)^3-\left(( (S\cdot 1,1-2000)\cdot 1,1+2000 )\cdot 1,1 \right)= $$ $$=S\cdot(1,1)^3-S\cdot(1,1)^3+2000\cdot \left((1,1)^2-1,1\right)=220,$$ то есть через три года вкладчик получил на $220$ рублей меньше, чем планировал. Ответ: на $220$ рублей. Решение. Пусть исходная сумма, которую вкладчик распределил между счетами в этих двух банках, равна $S$. Пусть доля денег, которую вкладчик положил в первый банк, равна $k$. Тогда в первый банк он положил сумму $kS$, а во второй — $(1-k)S$. Через 2 года сумма на счете в первом банке станет равной $kS\cdot (1,6)^2$, а во втором банке — $(1-k)S\cdot (1,4)^2$. Из условия, что суммарное количество денег на обоих счетах через два года должно удвоиться, получим уравнение $$kS\cdot (1,6)^2 + (1-k)S\cdot (1,4)^2 = 2S.$$ Сокращая на $S$ и решая полученное уравнение относительно $k$, найдем $k=\cfrac{1}{15}$. Ответ: $\cfrac{1}{15}$.