Графические методы решения Часть 3

Пример 2.60. Условие Найдите, при каких значения параметра $a$ уравнение $$ |x|+1=(a+1)x $$ имеет решение? Решение $$ |x|+1=(a+1)x\Longleftrightarrow a= \frac{|x|+1}{x}-1.$$ Решим это уравнение графически на плоскости $(x,a)$. Сначала раскроем модуль и получим $$ a= \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, x>0, \\ -2+\frac{1}{x}, x 0$, либо при $a Ответ $(- \infty; -2) \cup (0; + \infty)$. Пример 2.66. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$|x^2+a^2-6x-4a|=2x+2a$$ имеет четыре различных корня. Решение Раскроем модуль: $$|x^2+a^2-6x-4a|=2x+2a \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x^2+a^2-6x-4a=2x+2a, \\ x^2+a^2-6x-4a=-2x-2a, \end{array} \right.\\ x+a\geq 0, \end{array} \right.\hskip-5mm\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x^2-8x+16+a^2-6a+9=25, \\ x^2-4x+4+a^2-2a+1=5, \end{array} \right.\\ x+a\geq 0, \end{array} \right. \hskip-5mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} ( x-4)^2+(a-3)^2=5^2, \\ (x-2)^2+(a-1)^2=(\sqrt 5)^2, \end{array} \right.\\ x+a\geq 0. \end{array} \right. $$ Воспользуемся представлением кривых системы на плоскости $(x,a)$ (рис. 20). Решением системы являются части окружностей $( x-4)^2+(a-3)^2=5^2$ и $ (x-2)^2+(a-1)^2=(\sqrt 5)^2$, лежащих справа от прямой $x+a=0$. Для того, чтобы при фиксированном $a$ было четыре различных решения, горизонтальная прямая $a=const$ должна иметь с окружностями четыре различных общих точки. Критическими значениями параметра $a$ будут ординаты точек пересечения окружностей с прямой $x+a=0$ (они совпадают для обеих окружностей) и точек касания меньшей окружности и указанной прямой. Найдем их. Для нахождения точек пересечения подставим $x=-a$ в уравнение меньшей окружности: $$ (-a-2)^2 +(a-1)^2=5\Leftrightarrow a^2+4a+4+a^2-2a+1=5\Leftrightarrow 2a^2+2a=0. $$ Отсюда получаем два значения $a=0$ и $a=-1$. Точка касания меньшей окружности с прямой соответствует условию, что уравнение $ (x-2)^2 +(a-1)^2=5$ имело единственное решение при фиксированном значении $a$: $x-2=\pm\sqrt{5-(a-1)^2}$, что возможно только при $5-(a-1)^2\Longleftrightarrow a=1\pm\sqrt 5$. Области с 4 решениями соответствуют областям изменения параметра $(1-\sqrt 5;-1)$ и $(0;1+\sqrt 5)$. Ответ $(1-\sqrt 5;-1)\cup (0;1+\sqrt 5)$. Пример 2.68. Условие Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$x^4-2x^3-4x^2+10x-5-2ax+6a-a^2=0$$ имеет не менее трех корней. Решение Решим данное уравнение как квадратное относительно параметра $a$: $$ a^2+2a(x-3)+x^4+2x^3+4x^2-10x+5=0.$$ Для этого уравнения $$\frac{D}{4}=(x-3)^2+x^4-2x^3-4x^2+10x-5=x^4-2x^3-3x^2+4x+4=$$ $$=(x^2)^2+x^2+2^2-2x\cdot x^2 -2\cdot 2\cdot x^2+2\cdot2 \cdot x=(x^2-x-2)^2.$$ Отсюда $a=-(x-3)\pm(x^2-x-2)\Longleftrightarrow a=(x-1)^2$; $a=-x^2+5$. Построим графики парабол. Из рисунка 21 видно, что $a=const$ пересекает параболы не менее, чем в трех точках, при $0\leq a\leq 5$. Ответ $[0;5]$.