Графические методы решения Часть 2

Пример 2.48. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0 $$ имеет ровно два различных решения? Решение Отметим, что дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому $$ \frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0 \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} |4x| - x - 3 = a,\\ x^2 - x \ne a. \end{array}\right. $$ Построим графики функций $f_1(x) = |4x| - x - 3$, $f_2(x) = x^2 - x$ (см. рис. 10). Если прямая $y = a$ пересекает график функции $y = f_1(x)$ в двух различных точках и при этом не пересекает график функции $y = f_2(x)$ в этих же точках, то уравнение имеет два решения. Если $y = a$ пересекает график $y = f_1(x)$ в точке $x = x_0$ и одновременно в этой же точке пересекает график $y = f_2(x)$, то $x_0$ не будет корнем уравнения, так как знаменатель обращается в нуль, и уравнение будет иметь меньше двух решений. По графику из рис. 10 видно, что прямая $y = a$ пересекает график функции $y = f_1(x)$ в двух различных точках при $a > - 3$. Из множества $a \in ( -3; + \infty)$ следует исключить все значения $a$, равные ординатам точек пересечения графиков функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$. Чтобы их определить, решим систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} y = |4x| - x - 3,\\ y = x^2 - x, \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1 = -3,~ y_1 = 12,\\ x_2 = - 1,~ y_2 = 2,\\ x_3 = 1, ~ y_3 = 0,\\ x_4 = 3, ~ y_4 = 6. \end{array} \right. $$ Отсюда $a \in ( - 3; 0 )\cup (0;2) \cup (2;6) \cup (6;12) \cup (12; + \infty)$ (на рис. 10 выделены белыми кружками). Ответ $( - 3; 0 )\cup (0;2) \cup (2;6) \cup (6;12) \cup (12; + \infty)$. Задача 2.49. Условие При каких значениях параметра $a$ уравнение $$ \frac{|4x| - 2x - 3 - a}{x^2 - 2x - a} = 0 $$ имеет ровно два различных решения? Ответ $(-3;-1)\cup(-1;0) \cup (0;3) \cup (3;15) \cup (15; + \infty)$.