Уравнения и неравенства с модулями и параметрами Часть 2

Пример 2.18. Условие Решите уравнение $$|2x + a| + |x - 2a| = 20,$$ где $a$ - параметр. Решение Как уже отмечалось, решать такой пример методом интервалов неудобно, поскольку при разных $a$ корни по-разному расположены на числовой прямой. Если рассмотреть все случаи взаимного расположения корней ($x_1 x_2$), то первым двум случаям расположения будут соответствовать по три варианта снятия модуля, третьему случаю - два варианта, следовательно, придется рассмотреть шесть вариантов. В то же время снятие модуля <<в лоб>> приведет нас к рассмотрению лишь четырех вариантов. Воспользуемся последним способом решения. 1. $$ \left\{\begin{array}{l} 2x +a\geqslant 0,\\ x - 2a \geqslant 0,\\ 2x+a+x-2a=20. \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} x\geqslant -\frac{a}{2},\\ x \geqslant 2a,\\ x=\frac{20+a}{3}, \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} \frac{20+a}{3}\geqslant -\frac{a}{2},\\ \frac{20+a}{3} \geqslant 2a,\\ x=\frac{20+a}{3}, \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ $$ $$ \left\{\begin{array}{l} a\geqslant -8,\\ a \leqslant 4,\\ x=\frac{20+a}{3}, \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} -8 \leqslant a \leqslant 4,\\ x=\frac{20+a}{3}. \end{array}\right. $$ 2. $$ \left\{\begin{array}{l} 2x +a\geqslant 0,\\ x - 2a \leqslant 0,\\ 2x+a-x+2a=20, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} x\geqslant -\frac{a}{2},\\ x \leqslant 2a,\\ x=20-3a, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} 20-3a\geqslant -\frac{a}{2},\\ 20-3a \leqslant 2a,\\ x=20-3a, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow~~ $$ $$ \left\{\begin{array}{l} a\leqslant 8,\\ a \geqslant 4,\\ x=20-3a, \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} 4 \leqslant a \leqslant 8,\\ x=20-3a. \end{array}\right. $$ 3. $$ \left\{\begin{array}{l} 2x +a\leqslant 0,\\ x - 2a \geqslant 0,\\ -2x-a+x-2a=20, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\leqslant -\frac{a}{2},\\ x \geqslant 2a,\\ x=-20-3a, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -20-3a\leqslant -\frac{a}{2},\\ -20-3a \geqslant 2a,\\ x=-20-3a, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} a\geqslant -8,\\ a \leqslant -4,\\ x=-20-3a, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -8 \leqslant a \leqslant -4,\\ x=-20-3a. \end{array}\right. $$ 4. $$ \left\{\begin{array}{l} 2x +a\leqslant 0,\\ x - 2a \leqslant 0,\\ -2x-a-x+2a=20, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\leqslant -\frac{a}{2},\\ x \leqslant 2a,\\ x=\frac{-20+a}{3}, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{-20+a}{3}\leqslant -\frac{a}{2},\\ \frac{-20+a}{3} \leqslant 2a,\\ x=\frac{-20+a}{3}, \end{array}\right. \hskip-2mm\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{\begin{array}{l} a\leqslant 8,\\ a \geqslant -4,\\ x=\frac{-20+a}{3}, \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ \left\{\begin{array}{l} -4 \leqslant a \leqslant 8,\\ x=\frac{-20+a}{3}. \end{array}\right. $$ Теперь соберем решения для каждого промежутка изменения $a$ и получим ответ. Ответ если $a \in (-\infty; - 8)$, то нет решений; если $ a \in [- 8 ; - 4]$, то $x = \frac{20 + a}{3}$, $x = - 20 - 3a $ ; если $a\in ( - 4; 4]$, то $x = \frac{20 + a}{3}$, $x = \frac{a - 20}{3} $; если $a \in ( 4 ; 8]$, то $x = \frac{a - 20}{3}$, $x = 20 - 3a $ ; если $a \in ( 8;+\infty)$, то нет решений. Задача 2.19. Условие Решите уравнение $$|x - a| + |x - 2a| = 3a,$$ где $a$ - параметр. Решение $$ \begin{aligned} 1. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \geq 0 \\ &x-2a \geq 0 \\ &x-a+x-2a=3a \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x=3a \\ &3a-a \geq 0 \\ &3a-2a \geq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$a \geq 0; \; x=3a$} \\ 2. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \geq 0 \\ &x-2a \leq 0 \\ &x-a-x+2a=3a \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &a=0 \\ &x \geq 0 \\ &x \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$a = 0; \; x=0$} \\ 3. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \leq 0 \\ &x-2a \geq 0 \\ &-x+a+x-2a=3a \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &a=0 \\ &x \geq 0 \\ &x \leq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$a = 0; \; x=0$} \\ 4. \quad&\left\{ \begin{aligned} &x-a \leq 0 \\ &x-2a \leq 0 \\ &-x+a-x+2a=3a \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} &x=0 \\ &a \geq 0 \\ &2a \geq 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \fbox{$a \geq 0; \; x=0$} \end{aligned} $$ Ответ если $ a \in (-\infty; 0) $, то нет решений; если $a \in [ 0;+\infty) $, то $x = 0$, $x =3a$. В случае неравенств с модулями и параметрами основная проблема состоит в том, что мы не можем найти конкретное значение $x$ (даже в зависимости от $a$), подставить в условие и свести к системе неравенств только для $a$, как...