Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Пример 1.39. Условие Найдите все значения параметра $a$, при которых из неравенства $$ a x^2 - x + 1 - a Решение Пусть $f(x) = a x^2 - x + 1 - a$. По определению неравенство (1.2) является следствием неравенства (1.1), если любое решение (1.1) является и решением (1.2). Таким образом, требуется найти при каких $a$ все решения (1.1) будут решениями (1.2). Если $a либо два бесконечных промежутка (если $D > 0$), поэтому ни при каких $a Если $a = 0$, то $f(x)$ представляет собой линейную функцию, и решение $x > 1$ неравенства (1.1) также не будет решением (1.2). Если $a > 0$, то условия задачи выполнено, когда оба корня квадратного трехчлена в левой части (1.1) принадлежат отрезку $[0;1]$ (см. рис. 9). Необходимые и достаточные условия этого даются системой $$ \left\{\begin{array}{l} f(0) = 1 - a \geqslant 0,\\ f(1) = 0 \geqslant 0,\\ D = \left(2a - 1 \right)^2 > 0,\\ 0 0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow~~ 1/2 Ответ $ ( 0,5; 1]$. Задача 1.42. Условие При каких значениях параметра $a$ неравенство $\frac{x - 2a - 1 }{x - a} Ответ $(0,5; 1)$. Пример 1.43. Условие Найдите все значения параметра $a$, для которых при каждом $x$ из промежутка $[-3; - 1)$ значение выражения $x^4 - 7x^2 - 3$ не равно значению выражения $ax^2$. Решение Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу, если выполнено условие $$ x^4 - 7x^2 - 3 \ne ax^2 ~\Longleftrightarrow~ f(t) = t^2 - (a + 7)t - 3 \ne 0, $$ где $t = x^2$. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение $f(t) = 0$ не имело корней на промежутке $\left( (-1)^2; (- 3)^2 \right] = (1; 9]$. Поскольку для параболы с ветвями, направленными вверх, выполняется условие $f(0) = - 3$, то корни существуют, и один из корней лежит левее левой границы промежутка. Второй корень при этом должен находиться либо также левее левой границы, либо правее правой границы. В первом случае $f(1) \geqslant 0$, во втором случае $f(9) Ответ $(- \infty; - 9] \cup \left(1 \frac{2}{3}; + \infty \right) $.