Рациональные системы с параметрами Часть 2

Решение. В данном случае $z$ играет роль параметра. Выразим через этот параметр величину $x^2+y^2$. Систему уравнений можно преобразовать следующим образом: $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds x+(-y) =z-2, \\ \ds x(-y) = z^2+22-9z. \end{array} \right. $$ По обратной теореме Виета можно рассматривать величины $x$ и $-y$ как корни квадратного уравнения относительно $t$: $$ t^2-(z-1)t+ \left( z^2+22-9z \right)=0. $$ Задача сводится к нахождению суммы квадратов корней квадратного трехчлена, так как $\ds x^2+y^2=x^2+(-y)^2$. Для существования решений надо потребовать, чтобы дискриминант был неотрицательным: $$ \ds D=(z-2)^2-4\left( z^2 - 9z + 22 \right)\geqslant 0 \Longleftrightarrow z \in\left[\frac{14}{3};6\right]. $$ Далее, $$ \begin{array}{l} \ds x^2+y^2=(x+(-y))^2-2x(-y)=(z-2)^2-2 \left( z^2 - 9z + 22 \right)=\\ \ds \qquad = -z^2+14z-40. \vphantom{\int} \end{array} $$ На промежутке $\ds z \in\left[\frac{11}{3};5\right]$ производная $$ \ds \left( -z^2+14z-40\right)'=-2z+14>0, $$ поэтому максимальное значение $x^2+y^2=8$ достигается при значении $z=6$. Ответ: Максимальное значение $x^2+y^2$ достигается при значении $z=6$ и равно $8$. end document