Рациональные системы с параметрами Часть 1

{\problem{ЕГЭ-2018, тренировочный вариант, \No 18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} 2x^2+2y^2=5xy,\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4,\ \end{array} \right. \\ $$ имеет ровно два решения.}} Решение.\ {Первое уравнение системы есть однородное уравнение второй степени относительно $x$ и $y$. Рассмотрим сначала $y= 0$, при этом $x=0$, это решение уравнения. Далее предположим, что $y\ne 0$, и разделим уравнение на $y^2$: $$ \ds 2\left(\frac{x}{y}\right)^2-5\frac{x}{y}+2=0.$$ Решениями уравнения будут $\ds \frac{x}{y}=2$ и $\ds \frac{x}{y}=\frac{1}{2}$, что в совокупности с решением $x=0$, $y=0$ на графике соответствует двум прямым $y=2x$ и $\ds y=\frac{x}{2}$, пересекающимся в начале координат. Второе уравнению системы описывает семейство окружностей радиусов $\ds\sqrt{5}a^2$ с центрами, лежащими на прямой $x=a,~y=a$, то есть на прямой $y =x$. Прямые, задаваемые первым уравнением системы, расположены симметрично относительно линии центров окружностей, поэтому решений будет ровно два, только если прямые касаются окружностей. В противном случае решений либо нет, либо их больше двух (исключение составляет точка (0;0) — при $a=0$ решение $x=0; y=0$ единственно). При подстановке $y=2x$ во второе уравнение системы получаем $$(x-a)^2+(3x-a)^2=10a^4\Longleftrightarrow 5x^2-6ax+2a^2-5a^4=0.$$ Прямая касается окружности, если решение уравнения единственно, то есть дискриминант равен нулю: $$\ds \frac{D}{4}=9 a^2-10a^2+25a^4=0\Longleftrightarrow a^2=25a^4.$$ Тогда либо $a=0$, что не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае решение единственно, поскольку окружность вырождается в точку, либо $\ds a=\pm \frac{1}{5} \vphantom{\int} $. Вторая прямая расположена симметрично, поэтому значения параметра для случая касания будут те же самые. } Ответ: $\ds \pm \frac{1}{5}$. {\example{\cite{73} ЕГЭ-2012, тренировочный вариант, С5. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2-1\leqslant -a^2+2a(x-y+1),\\ x^2+y^2-1\leqslant 3a^2-2a(2x-3y+4)\ \end{array} \right. \\ $$}} имеет единственное решение. } Решение.\ {Переносим все слагаемые с $x$ и $y$ в системе в левые части неравенств $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2ax +y^2+2ay\leqslant -a^2+2a+1,\\ x^2+4ax +y^2-6ay\leqslant 3a^2-8a+1, \end{array} \right. $$ а затем преобразуем полученные выражения в левых частях неравенств так, чтобы можно было выделить полный квадрат: $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2ax +a^2 +y^2+2ay+a^2-2a^2\leqslant -a^2+2a+1,\\ x^2+4ax +4a^2 +y^2-6ay+9a^2 - 13 a^2\leqslant 3a^2-8a+1 \end{array} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} (x-a)^2 +(y+a)^2\leqslant (a+1)^2,\\ (x+2a)^2 +(y-3a)^2\leqslant (4a-1)^2. \end{array} \right. $$ Таким образом, оба неравенства системы соответствуют кругам с радиусами $R_1 = |a + 1|$ и $R_2 = |4a - 1|$ и центрами $O_1 (a;-a)$ и $O_2(-2a; 3a)$ соответственно, включая их границы. Решение системы будет единственным в двух случаях: 1) круги касаются друг друга внешним образом в одной точке; 2) один из кругов вырождается в точку (радиус круга равен нулю) и лежит внутри другого круга или на его границе. Рассмотрим первый случай. Внешнее касание кругов означает, что расстояние между их центрами равно сумме радиусов. Найдем расстояние между центрами $O_1 O_2$: $$ O_1 O_2=\sqrt {(a+2a)^2+(-a-3a)^2}=5|a|.$$ Тогда должно выполняться соотношение $$ O_1O_2 = R_1+ R_2 \Longleftrightarrow 5|a|=|a+1|+|4a-1|.$$ Решим это уравнение методом интервалов. $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds a\leqslant -1, \\ \ds -5a=-a-1-4a+1, \end{array} \right. \Longleftrightarrow a\leqslant -1; $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds -1 \leqslant a \leqslant 0, \\ \ds -5a=a+1-4a+1, \end{array} \right. \Longleftrightarrow a = -1; $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds 0 \leqslant a\leqslant \frac{1}{4}, \\ \ds 5a=a+1-4a+1, \end{array} \right. \Longleftrightarrow a = \frac{1}{4}; $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \ds a\geqslant \frac{1}{4}, \\ \ds 5a=a+1+4a-1, \end{array} \right. \Longleftrightarrow a\geqslant \frac{1}{4}. $$ Поскольку оба случая, когда радиусы окружностей обращаются в нуль $\ds \left(a=-1 \mbox{ и } \ds a=\frac{1}{4}\right)\vphantom{\int}$, уже попали в ответ, то второй случай рассматривать не надо. Ответ: $\ds (- \infty ; -1]\cup \left[\frac{1}{4}; +\infty \right)\vphantom{\int}$.