"Графическая интерпретация решения систем уравнений и неравенств"

Решение. запишем систему в следующем виде: $$ \left\{\begin{array}{l} |x - y| = 6-2x,\\ |2x - y| = 6-3x. \end{array} \right. $$ Для существования решений надо потребовать ,чтобы $$ \left\{\begin{array}{l} 6- 2x \ge 0,\\ 6- 3x \ge 0. \end{array} \right.\Longleftrightarrow x\le 2. $$ Далее рассмотрим различные способы раскрытия модуля (см. раздел по решению рациональных уравнений и неравенств). 1) $$ \left\{\begin{array}{l} x - y = 6-2x,\\ 2x - y = 6-3x,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=-x,\\ 3x-y=6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0\\ y=-6.\\ \end{array} \right. $$ Решением является точка. 2) $$ \left\{\begin{array}{l} x - y = 6-2x,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3x-6-6+2x,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right. $$ данная система не имеет решений. 3) $$ \left\{\begin{array}{l} x - y =2x -6,\\ 2x - y = 6-3x,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=6-3x -2x+6,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y = 4.\\ \end{array} \right. $$ Решением является точка. 4) $$ \left\{\begin{array}{l} x - y =2x -6,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3x-6 -2x+6,\\ 2x - y = 3x-6,\\ x\le 2, \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=x,\\ y = 6-x,\\ x\le 2, \end{array} \right. $$ Запишем решение в виде $x=t, y=6-t$, где $t\le 2$. Данное решение представляет собой полупрямую. Ответ: $x=0;~y=-6$ и $x=t; ~y=6 - t$, где $t \leqslant 2$.