Замена переменных и использование однородных уравнений

Решение. Вычитаем из первого уравнения удвоенное второе: $$ y^3 + x^3 - \left( 4xy^2 - 2x^2 y \right)=0 \Longleftrightarrow \left( \frac{y}{x} \right)^3 + 1 - 4\left( \frac{y}{x} \right)^2 + 2\frac{y}{x}=0. $$ Вводим новую переменную $\ds t =\frac{y}{x} $. Тогда последнее уравнение будет кубическим относительно $t$. Подбором находим, что $t = 1$ является корнем уравнения. Остальные значения $t$ являются иррациональными, следовательно, и значения $x$ и $y$ не могут быть одновременно целочисленными. Подставляем $y=x$, например, в первое из уравнений системы и получаем ответ. Ответ: $x=1;~y=1$. Решение. Воспользуемся формулой $\ds (a+b)^3=a^3b^3+3a^2b+3ab^2$. Если умножить второе уравнение на 3 и прибавить к первому, то получим куб суммы: $$ \left\{ {\begin{array}{l} (x+ y)^3 = 1, \\ xy(y + x) = -6, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x+ y = 1, \\ xy = -6. \\ \end{array}} \right. $$ По обратной теореме Виета $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2-1\cdot z+(-6)=0.$ Корни равны $3$ и $-2$. Ответ: $x=3;~y=-2$ и $x=-2;~y=3.$