Солнечная система

Часть III*: Вектор Лапласа. Определим новую векторную величину, которую физики и астрономы называют вектором Лапласа: $$ \vec{\varepsilon} \equiv \frac{1}{G M m}[\vec{v} \times \vec{L}]-\frac{\vec{r}}{r} $$ Видно, что эта величина безразмерная. На первый взгляд, она устроена довольно сложно. Например, вычислить скорость ее изменения - непростое упражнение по дифференцированию. Но если вспомнить, что момент импульса не изменяется, а из уравнения движения мы знаем, что $\frac{d \vec{v}}{d t}=\vec{a}=-\frac{G M}{r^{3}} \vec{r}$, то скорость изменения первого слагаемого $$ \frac{1}{G M m}\left[\frac{d \vec{v}}{d t} \times \vec{L}\right]=-\frac{m}{m r^{3}}[\vec{r} \times[\vec{r} \times \vec{v}]]=\frac{\vec{v}}{r}-\frac{\vec{r}(\vec{r} \vec{v})}{r^{3}} . $$ Здесь для вычисления двойного векторного произведения использовано «правило bac минус cab». Скорость изменения второго слагаемого (без учета знака «минус»): $$ \frac{d}{d t}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\vec{r}}{\sqrt{\vec{r}^{2}}}\right)=\left(\vec{r} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \frac{1}{\left(\vec{r}^{2}\right)^{3 / 2}} 2\left(\vec{r} \cdot \frac{d \vec{r}}{d t}\right)\right)+\frac{1}{r} \frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{\vec{v}}{r}-\frac{\vec{r}(\vec{r} \vec{v})}{r^{3}} . $$ Их разность в точности равна нулю, то есть вектор Лапласа остается неизменным при любом движении небесного тела! Это - еще один закон сохранения, который для небесных тел следует из уравнения движения. Каков же его физический смысл? Вектор момента импульса всегда перпендикулярен плоскости орбиты, так что вектор Лапласа лежит в плоскости орбиты. Раз это - величина сохраняющаяся, то вычислить его можно в любой точке орбиты. Например, в точке перигелия: радиус-вектор небесного тела $\vec{r}$ проведен из центра Солнца в точку $P$, а вектор скорости $\vec{v}$ в этой точке перпендикулярен $\vec{r}$. Вектор $[\vec{v} \times \vec{L}]$ перпендикулярен скорости и лежит в плоскости орбиты - он направлен вдоль $\vec{r}$, а его величина равна $\frac{L v_{P}}{G M m}=\frac{1}{r_{P}} \frac{L^{2}}{G M m^{2}}=\frac{p}{r_{P}}$, где мы ввели обозначение $p \equiv \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$. Таким образом, вектор Лапласа направлен параллельно большой оси орбиты - от Солнца к точке перигелия, а его модуль равен $\frac{p}{r_{P}}-1$. Допустим, что мы характеризуем положение небесного тела на орбите углом поворота $\varphi$, отсчитываемым от перигелия в направлении вращения. Тогда скалярное произведение $(\vec{\varepsilon} \cdot \vec{r})=|\vec{\varepsilon}| \cdot r \cdot \cos (\varphi)$. С другой стороны, с учетом определения вектора Лапласа $$ (\vec{\varepsilon} \cdot \vec{r})=\frac{1}{G M m}(\vec{r} \cdot[\vec{v} \times \vec{L}])-r=\frac{1}{G M m}(\vec{L} \cdot[\vec{r} \times \vec{v}])-r=\frac{L^{2}}{G M m^{2}}-r=p-r . $$ Здесь мы воспользовались свойством смешанного произведения трех векторов. Приравнивая эти выражения, получаем уравнение орбиты как связь расстояния от Солнца до небесного тела с углом поворота: $$ r(\varphi)=\frac{p}{1+|\vec{\varepsilon}| \cdot \cos (\varphi)}=\frac{p}{1+e \cdot \cos (\varphi)} . $$ С точки зрения математика это - в точности уравнение конического сечения в полярных координатах. В этом уравнении $p$ называют параметром орбиты, а модуль вектора Лапласа оказывается эксцентриситетом орбиты: $|\vec{\varepsilon}|=e$ ! При эксцентриситете $e=0$ это уравнение окружности, при $0 1$ гиперболы. Все остальные характеристики орбиты выражаются через параметр и эксцентриситет. Например: $r_{P}=\frac{p}{1+e}, r_{A}=\frac{p}{1-e}$ (афелий существует при $e Значит, если нам заданы координата любой точки орбиты небесного тела $\vec{r}$ и его скорость в этой точке $\vec{v}$, то мы можем посчитать $\frac{1}{m} \vec{L}=[\vec{r} \times \vec{v}]$, а затем и вектор Лапласа $\vec{\varepsilon}$ и узнать положение большой оси орбиты, ее параметр $p=\frac{1}{G M}\left(\frac{L}{m}\right)^{2}$ и эксцентриситет $e=|\vec{\varepsilon}|$, то есть узнать все об орбите этого тела.