Неоднородные тела: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 7

Условие

Во время раскопок учёные-археологи обнаружили два старинных амулета одинаковой квадратной формы и размера. Оба амулета состоят из трёх частей, сделанных из разных материалов. Границы между этими частями тоже имеют форму квадрата. В первом амулете центральная часть имеет плотность \rho_{1}=19,3 г/см³ { }^{3} , средняя - плотность \rho_{2}=4 г/см³ { }^{3} , а плотность внешней части равна \rho_{3} . У второго амулета материалы центральной и внешней частей поменяны местами. Найдите плотность \rho_{3} , если масса второго амулета в 2,5 раза больше массы первого. Все размеры указаны на рисунке. Толщина обоих амулетов постоянна.

4

Решение

А) \rho_{1}=19,3 \frac{г}{ см^{3}} , \rho_{2}=4 \frac{г}{ см^{3}} , \rho_{3} , m_{1}=m_{2}

Б) \rho_{1} , \rho_{2} , \rho_{3} , m_{2}=2,5m

\begin{gathered}

m_{1}=a^{2} h \rho_{1}+\rho_{2} h\left(4 a^{2}-a^{2}\right)+\rho_{3} h\left(9 a^{2}-4 a^{2}\right) \\

m_{1}=a^{2} h \rho_{1}+3 a^{2} \rho_{2} h+5 a^{2} \rho_{3} h \\

m_{1}=a^{2} h\left(\rho_{1}+3 \rho_{2}+5 \rho_{3}\right) \\

m_{2}=a^{2} h \rho_{3}+\rho_{2} h\left(4 a^{2}-a^{2}\right)+\rho_{1} S\left(9 a^{2}-4 a^{2}\right) \\

m_{2}=a^{2} h\left(\rho_{3}+3 \rho_{2}+5 \rho_{1}\right) \\

m_{2}=2,5 m_{1} \\

a^{2} h\left(\rho_{3}+3 \rho_{2}+5 \rho_{1}\right)=2,5 a^{2} h\left(\rho_{1}+3 \rho_{2}+5 \rho_{3}\right) \\

\rho_{3}+3 \rho_{2}+5 \rho_{1}=2,5 \rho_{1}+7,5 \rho_{2}+12,5 \rho_{3} \\

5 \rho_{1}-2,5 \rho_{1}+3 \rho_{2}-7,5 \rho_{2}=11 \rho_{3} \\

\rho_{3}=\frac{2,5 \rho_{1}-4,5 \rho_{2}}{11,5}=\frac{2,5 \cdot 19,3-4,5 \cdot 4}{11,5}=2,63 \frac{г}{ см^{3}}

\end{gathered} Ответ 2,63 \frac{г}{ см^{3}} .