Гидрокинематика и гидродинамика: Часть 4

Задача 14

Условие

На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте h_1=5 \ см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра r=1 мм и длина l=1 \ см . В сосуд налито машинное масло, плотность которого \rho=0.9 \cdot 10^3 \ кг/м^3 и динамическая вязкость \eta=0.5 Па \cdot с. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте h_2=50 \ см выше капилляра. На каком расстоянии L от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол?

Решение

По формуле Пуазёйля V=\frac{\pi r^4 t \Delta p}{8 l \eta}, где по закону Паскаля перепад давления \Delta p=\rho g \Delta h=\rho g\left(h_2-h_1\right). Тогда V=\frac{\pi \cdot {r}^4 t \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta}, отсюда V_t=\frac{V}{t}=\frac{\pi r^4 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta}. С другой стороны, V_t=v S=v \pi r^2 (из предыдущих задач), следовательно, v \pi r^2=\frac{\pi r^4 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta}. v=\frac{r^2 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta} - скорость вытекания струи из капилляра. Далее рассматриваем движения струй вдоль осей x и y , как независимые, причем по x движение равномерное, а по y равнопеременное, поэтому x=v t и y=h_1-\frac{g t^2}{2}. В точке падения струи на стол y=0 , соответственно h_1-\frac{g t^2}{2}=0 t^2=\frac{2 h_1}{g} ; \quad t=\sqrt{\frac{2 h_1}{g}}. Тогда струя падает на стол на расстоянии L=x=v t=\frac{r^2 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{81 \eta} \sqrt{\frac{2 h_1}{g}}=1 \ см.

Ответ L=1 \ см.

Задача 15

Условие

Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность которого \rho=0.9 \cdot 10^3 \ кг/м^3 и динамическая вязкость \eta=0.8 Па \cdot с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re \leq 0.5 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра D шарика.

Решение

Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона m g-F_{A}-F=0, где масса шарика m=\rho_{c} V=\rho_{c} \frac{\pi d^3}{6}, сила Архимеда F_{A}=\rho_{м} V g=\rho_{м} g \frac{\pi d^3}{6}, , сила сопротивления масла F=3 \pi \eta d v по закону Стокса.

После несложных преобразований получим 18 \eta v=d^2 g \left(\rho_{c}-\rho_{м}\right), откуда v=\frac{D^2 g\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right)}{18 \eta}. Число Рейнольдса определяется соотношением Re = \frac{D v \rho_{м}}{\eta}. По условию Re \leq 0.5, тогда \frac{D v \rho_{м}}{\eta} \leq 0.5 или, с учетом предыдущего: \frac{D^3 g\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right) \rho_{м}}{18 \eta^2} \leq 0.5. Отсюда D \leq \sqrt[3]{\frac{0,5 \cdot 18 \eta^2}{g \rho_{м}\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right)}}. Предельный диаметр шарика D=4.6 мм.

Ответ D=4.6 мм.