Гидрокинематика и гидродинамика

Гидрокинематика и гидродинамика Задача 14 Условие На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте $h_1=5 \ см$ от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра $r=1$ мм и длина $l=1 \ см$. В сосуд налито машинное масло, плотность которого $\rho=0.9 \cdot 10^3 \ кг/м^3$ и динамическая вязкость $\eta=0.5$ Па $\cdot$ с. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте $h_2=50 \ см$ выше капилляра. На каком расстоянии $L$ от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол? Решение По формуле Пуазёйля $$V=\frac{\pi r^4 t \Delta p}{8 l \eta},$$ где по закону Паскаля перепад давления $$\Delta p=\rho g \Delta h=\rho g\left(h_2-h_1\right).$$ Тогда $$V=\frac{\pi \cdot {r}^4 t \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta},$$ отсюда $$ V_t=\frac{V}{t}=\frac{\pi r^4 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta}.$$ С другой стороны, $$V_t=v S=v \pi r^2$$ (из предыдущих задач), следовательно, $$v \pi r^2=\frac{\pi r^4 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta}.$$ $$v=\frac{r^2 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{8 l \eta} $$ - скорость вытекания струи из капилляра. Далее рассматриваем движения струй вдоль осей $x$ и $y$, как независимые, причем по $x$ движение равномерное, а по $y$ равнопеременное, поэтому $$x=v t$$ и $$y=h_1-\frac{g t^2}{2}.$$ В точке падения струи на стол $y=0$, соответственно $$h_1-\frac{g t^2}{2}=0$$ $$t^2=\frac{2 h_1}{g} ; \quad t=\sqrt{\frac{2 h_1}{g}}.$$ Тогда струя падает на стол на расстоянии $$L=x=v t=\frac{r^2 \rho g\left(h_2-h_1\right)}{81 \eta} \sqrt{\frac{2 h_1}{g}}=1 \ см.$$ Ответ $L=1 \ см.$ Задача 15 Условие Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность которого $\rho=0.9 \cdot 10^3 \ кг/м^3$ и динамическая вязкость $\eta=0.8$ Па $\cdot$ с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса $Re \leq 0.5$ (если при вычислении $Re$ в качестве величины $D$ взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра $D$ шарика. Решение Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона $$m g-F_{A}-F=0,$$ где масса шарика $$m=\rho_{c} V=\rho_{c} \frac{\pi d^3}{6},$$ сила Архимеда $$F_{A}=\rho_{м} V g=\rho_{м} g \frac{\pi d^3}{6},$$, сила сопротивления масла $$F=3 \pi \eta d v$$ по закону Стокса. После несложных преобразований получим $$18 \eta v=d^2 g \left(\rho_{c}-\rho_{м}\right),$$ откуда $$v=\frac{D^2 g\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right)}{18 \eta}.$$ Число Рейнольдса определяется соотношением $$Re = \frac{D v \rho_{м}}{\eta}.$$ По условию $$Re \leq 0.5,$$ тогда $$\frac{D v \rho_{м}}{\eta} \leq 0.5$$ или, с учетом предыдущего: $$\frac{D^3 g\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right) \rho_{м}}{18 \eta^2} \leq 0.5.$$ Отсюда $$D \leq \sqrt[3]{\frac{0,5 \cdot 18 \eta^2}{g \rho_{м}\left(\rho_{c}-\rho_{м}\right)}}.$$ Предельный диаметр шарика $D=4.6$ мм. Ответ $D=4.6$ мм.