Финансовые задачи

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В начале $2001$ года Алексей приобрёл ценную бумагу за $19\, 000$ рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на $3000$ рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на $10%$. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Решение. По условию задачи стоимость ценной бумаги возрастает линейно, а сумма на банковском счете растет экспоненциально. Отсюда следует, что если в какой-то момент скорость роста суммы на счете станет больше скорости роста цены бумаги, то и в дальнейшем держать деньги на счете будет выгоднее. Цена бумаги в год с номером $n$ будет равна $p_n=19\,000+3000(n-1)$. Продать ценную бумагу нужно в начале года с таким номером, за который процент по вкладу превысит $3000$ рублей, то есть $0,1p_n \geqslant 3000$ или $p_n \geqslant 30\,000$. Получим неравенство $$19\,000+3000(n-1) \geqslant 30\,000,$$ откуда $n \geqslant \cfrac{14}{3}$, то есть минимальный целый номер года будет равен 5. Следовательно, продавать ценную бумагу нужно в начале пятого года с момента ее покупки, что соответствует началу 2005 года. Ответ: в начале 2005 года. Задача 1.5 Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года $t$ становится равной $t^2$ тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят $1$ тыс. руб., к концу второго — $4$ тыс. руб. и т. д.), в течение $20$ лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под $25%$ годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной? Решение. Пусть акции проданы в конце года $t$ за $t^2$ тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся $20 - t$ лет под $25%$ годовых. Тогда сумма на счете в конеце срока составит (в тыс. руб.) $$S(t) = t^2 \cdot 1,25^{20 - t}.$$ Нужно определить наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных значений $t\leqslant 20$. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим $t_0$ — точку возможного экстремума: $$S'(t)=2t \cdot 1,25^{20 - t}-t^2\cdot 1,25^{20 - t}\ln 1,25=0,$$ откуда $$t_0=\frac{2}{\ln 1,25}.$$ Так как $S'(t)>0$ при $t t_0$, а в точке $t_0$ производная равна нулю, то $t_0$ — точка максимума, причем она единственная. Значит, функция $S(t)$ при увеличении $t$ ($t>0$) сначала возрастает, затем убывает. Поскольку нас интересует целый номер года $t$, то он не попадет в точку максимума, но будет где-то рядом. При этом если выгодно продать именно в год с номером $t$, то значение $t-1$ обязательно находится на промежутке возрастания функции $S(t)$, а значение $t+1$ — на промежутке ее убывания. Для гарантии того, что именно номер $t$ является оптимальным, нам достаточно потребовать выполнения двух условий: $$ \left\{\begin{array}{l} S(t+1) Ответ: в конце девятого года.