Экономические нелинейные задачи часть 2

Задача 3 Производство $x$ тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5 x^2 + x + 7$ млн. рублей в год. При цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px - q$. При каком наименьшем значении $p$ через три года суммарная прибыль составит не менее $75$ млн. рублей? Решение. Прибыль (в млн. рублей) за один год составляет $$ S=px - q = px -0,5 x^2 - x - 7= -0,5 x^2+(p-1)x-7. $$ Чтобы за три года суммарная прибыль составила не менее $75$ млн. рублей, нужно, чтобы годовая прибыль $S$ оказалась не меньше $25$ млн. рублей, то есть $-0,5 x^2+(p-1)x-7 \geqslant 25$ или $$ x^2-2(p-1)x+64 \leqslant 0. $$ По сути мы имеем задачу с параметром: нужно найти наименьшее $p$, при котором полученное неравенство будет иметь решение. Левая часть неравенства — это квадратный трехчлен, наименьшее значение которого достигается в вершине $x_{в}=p-1$ и равно $y_{в}=-(p-1)^2+64$. Неравенство будет иметь решение, если $y_{в}\leqslant 0$, откуда получим $p\leqslant -7$ (не подходит по смыслу) или $p\geqslant 9$ (естественно, рассматриваются только неотрицательные значения $p$). Значит, наименьшее значение $p_{min}=9$. Ответ: $9$.