Экономические линейные задачи часть 1

Задача 1.3 У фермера есть два поля, каждое площадью $10$ гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет $400$ ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет $300$ ц/га, а на втором — $400$ ц/га. Фермер может продавать картофель по цене $10\,000$ руб. за центнер, а свёклу — по цене $11\,000$ руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Решение. Эта задача является линейной: доход от продажи выращенной культуры на каждом поле прямо пропорционален затраченным ресурсам (гектарам поля). При этом поля можно оптимизировать независимо друг от друга. Определим доходность единицы ресурса (1 га) на каждом поле для каждой культуры. Доходность картофеля с одного гектара на первом поле равна $400 ц/га\cdot 10000 руб./ц =4000000 руб./га.$ В то же время доходность свеклы с одного гектара на первом поле — $300 ц/га\cdot 11000 руб./ц =3300000 руб./га.$ Отсюда следует, что на первом поле выгоднее посадить картофель (все поле целиком), получив с него $4000000 руб./га\cdot 10 га=40$ млн руб. На втором поле и урожайность свеклы выше, и стоимость за центнер у нее выше, значит все второе поле следует засадить только свеклой. Тогда второе поле принесет $10 га \cdot 400 ц/га \cdot 11000 руб./ц = 44 млн руб.$ Тогда наибольший доход будет равен $40+44=84$ (млн. руб.). Ответ: $84$ млн. руб. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) У фермера есть два поля, каждое площадью $10$ гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет $300$ ц/га, а на втором — $200$ ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет $200$ ц/га, а на втором — $300$ ц/га. Фермер может продавать картофель по цене $10\,000$ руб. за центнер, а свёклу — по цене $13\,000$ руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Решение. Эта задача является линейной: доход от продажи выращенной культуры на каждом поле прямо пропорционален затраченным ресурсам (гектарам поля). При этом поля можно оптимизировать независимо друг от друга. Определим доходность единицы ресурса (1 га) на каждом поле для каждой культуры. Доходность картофеля с одного гектара на первом поле равна $300 ц/га\cdot 10000 руб./ц =3000000 руб./га.$ В то же время доходность свеклы с одного гектара на первом поле — $200 ц/га\cdot 13000 руб./ц =2600000 руб./га.$ Отсюда следует, что на первом поле выгоднее посадить картофель (все поле целиком), получив с него $3000000 руб./га\cdot 10 га=30$ млн руб. На втором поле и урожайность свеклы выше, и стоимость за центнер у нее выше, значит все второе поле следует засадить только свеклой. Тогда второе поле принесет $10 га \cdot 300 ц/га \cdot 13000 руб./ц = 39 млн руб.$ Тогда наибольший доход будет равен $30+39=69$ (млн. руб.). Ответ: $69$ млн. руб.