Вклады часть 1

Задача 1.1 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) В коммерческий банк был сделан вклад под фиксированный процент годового дохода. За первый год величина вклада возросла на $40\,000$ у.е., а за два последующих года она увеличилась еще на $86\,100$ у.е. Определите, какова была первоначальная величина вклада. Решение. Пусть $S$ — начальная величина вклада, $p%$ — процентная ставка годового дохода. Обозначим $q =1+ \cfrac{p}{100}$. Тогда через год сумма на вкладе составляла $S\cdot q$, через два года — $S\cdot q^2$, через три года — $S\cdot q^3$. Из условия задачи следует система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} S q - S = 40\,000,\\ S q^3 - S q = 86\,100, \end{array} \right. $$ или $$ \left\{\begin{array}{l} S (q-1) = 40\,000,\\ S q(q-1)(q+1) = 86\,100, \end{array} \right. $$ Разделив второе уравнение на первое, получим $$ q(q+1) = \cfrac{861}{400}, $$ что приводится к квадратному уравнению $$q^2+q-\frac{861}{400}=0.$$ Оставляя только положительное решение полученного квадратного уравнения $q = 1,05$, находим из первого уравнения исходной системы величину $S = 800\,000$. Ответ: $800000$ у.е. Задача 1.2 По вкладу <<А>> банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на $10%$ сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу <<Б>> — увеличивает на $11%$ в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу <<Б>>, при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада <<А>>. Решение. Пусть на каждый из вкладов внесена сумма $S$. По вкладу <<А>> начисляется $p_1=10%$ ежегодно, через три года на вкладе <<А>> окажется сумма $S\cdot(1,1)^3 $. По вкладу <<Б>> за первые два года начисляется $p_2=11%$ ежегодно, через два года на вкладе <<Б>> окажется сумма $(1,11)^2 S$. Процентная ставка за третий год неизвестна, обозначим ее $p_3%$. Тогда в конце третьего года на вкладе <<Б>> будет сумма $S\cdot (1,11)^2 \cdot q_3$, где $q_3=1 + \cfrac{p_3}{100}$. Так как вклад <<Б>> должен быть выгоднее вклада <<А>>, получаем неравенство $$ S\cdot (1,11)^2 \cdot q_3 > S\cdot(1,1)^3, $$ или $$ (1,11)^2 \cdot q_3 > (1,1)^3, $$ откуда $$q_3>\frac{(1,1)^3}{(1,11)^2}.$$ Тогда, подставляя вместо $q_3$ выражение $1 + \cfrac{p_3}{100}$ и решеая неравенство относительно $p_3$, получим $$ p_3 > 100 \cdot \frac{(1,1)^3-(1,11)^2}{(1,11)^2} \approx 8,03. $$ Поскольку нас интересует наименьшее целое число $p_3$, для которого это неравенство выполнено, получаем $p_{3min} = 9$. Ответ: $9$. Следующую аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.3 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) По вкладу <<А>> банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на $20%$ сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу <<Б>> — увеличивает на $21%$ в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу <<Б>>, при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада <<А>>. Решение. Пусть на каждый из вкладов внесена сумма $S$. По вкладу <<А>> начисляется $p_1=20%$ ежегодно, через три года на вкладе <<А>> окажется сумма $S\cdot(1,2)^3 $. По вкладу <<Б>> за первые два года начисляется $p_2=21%$ ежегодно, через два года на вкладе <<Б>> окажется сумма $(1,21)^2 S$. Процентная ставка за третий год неизвестна, обозначим ее $p_3%$. Тогда в конце третьего года на вкладе <<Б>> будет сумма $S\cdot (1,21)^2 \cdot q_3$, где $q_3=1 + \cfrac{p_3}{100}$. Так как вклад <<Б>> должен быть выгоднее вклада <<А>>, получаем неравенство $$ S\cdot (1,21)^2 \cdot q_3 > S\cdot(1,2)^3, $$ или $$ (1,21)^2 \cdot q_3 > (1,2)^3, $$ откуда $$q_3>\frac{(1,2)^3}{(1,21)^2}.$$ Тогда, подставляя вместо $q_3$ выражение $1 + \cfrac{p_3}{100}$ и решеая неравенство относительно $p_3$, получим $$ p_3 > 100 \cdot \frac{(1,2)^3-(1,21)^2}{(1,21)^2} \approx 18,02. $$ Поскольку нас интересует наименьшее целое число $p_3$, для которого это неравенство выполнено, получаем $p_{3min} = 19$. Ответ: $19$. Задача 1.4 Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под $10%$ годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета $5000$ рублей, а еще через год снова внес $5000$ рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет $5000$ рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета $5000$ рублей. Кто из них через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей? Решение. Пусть и Миша, и Маша положили на свои счета по $S$ рублей. Сначала рассмотрим счет Миши. Через 1 год после начисления процентов и снятия денег у Миши на счете было $S\cdot 1,1-5000$ рублей. Через 2 года после начисления процентов и внесения 5000 руб. у Миши на счете было $(S\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1+5000$ рублей. Через 3 года у него было $S_1=((S\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1$ рублей. Аналогично рассмотрим действия со счетом Маши. Через 1 год после начисления процентов и внесения денег у Маши на счете было $S\cdot 1,1+5000$ рублей. Через 2 года пос...