Замена переменных и использование однородных уравнений

Использование однородных уравнений Пример 5 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 3x^2 + 5xy - 2y^2 = 20, \\ \displaystyle x^2 + xy + y^2 = 7. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. В левых частях уравнений стоят однородные многочлены второй степени относительно $x$ и $y$. Поэтому можно получить следствие этих уравнений — однородное уравнение второй степени. Действительно, умножаем первое уравнение на 7, а второе — на 20, то есть так, чтобы правые части обоих уравнений оказались равны. $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 21x^2 + 35xy - 14y^2 = 140, \\ \displaystyle 20x^2 + 20xy + 20y^2 = 140, \\ \end{array}} \right. $$ Вычитаем из первого уравнения второе, а второе записываем без общего множителя $20$. $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2 + 15xy - 34y^2 = 0, \\ \displaystyle x^2 + xy + y^2 = 7. \\ \end{array}} \right. $$ Как обычно, для решения однородного уравнения второй степени разделим первое уравнение этой системы на $\displaystyle y^2$. (Деление на $y^2$ не приводит к потере решений, так как, если $y = 0$, то из первого уравнения вытекает, что и $x = 0$, при этом второе уравнение не выполнено). Тогда имеем $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 15 \frac{x}{y} - 34 = 0,\\ \displaystyle x^2 + xy + y^2 = 7, \vphantom{\int}\\ \end{array}} \right. \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} \displaystyle x = 2y, \\ \displaystyle x = - 17y,\\ \end{array} \right.\\ \displaystyle x^2 + xy + y^2 = 7, \vphantom{\int}\\ \end{array}} \right. \Longleftrightarrow $$ $$ \left[ {\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = 2y, \\ \displaystyle 7y^2 = 7, \\ \end{array} \right.\\ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = - 17y,\\ \displaystyle 273y^2 = 7.\\ \end{array} \right. \end{array}} \right. $$ После несложных преобразований получаем ответ. Ответ: $x= 2;~y= 1$, $x=- 2;~y=-1$, $\displaystyle x=- \frac{17}{\sqrt{39}};~y=\frac{1}{\sqrt{39}} $ и $\displaystyle x=\frac{17}{\sqrt{39}};~y=- \frac{1}{\sqrt{39}} \vphantom{\int\limits_-}$. Задача 6 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle \frac{5}{x^2 - xy} + \frac{4}{y^2 - xy} = - \frac{1}{6}, \\ \displaystyle \frac{7}{x^2 - xy} - \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{6}{5}. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. Сначала введем новые переменные $\displaystyle u=\frac{5}{x^2 - xy}$ и $\displaystyle v=\frac{4}{y^2 - xy} $, тогда получим систему $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 5u + 4v = - \frac{1}{6}, \\ \displaystyle 7u - 3v = \frac{6}{5}, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle u = \frac{1}{10}, \\ \displaystyle v = -\frac{1}{6}, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x^2-xy = 10, \\ \displaystyle y^2-xy= -6. \\ \end{array}} \right. $$ Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 3(x^2 - xy) =30, \\ \displaystyle 5(y^2 - xy) = -30. \\ \end{array}} \right. $$ Прибавим к первому уравнению второе и получим: $$3x^2-8xy+5y^2=0\Longleftrightarrow 3\left(\frac{x}{y}\right)^2-8\frac{x}{y}+5=0.$$ Отметим, что $y\ne 0$ из условия существования дроби $\displaystyle \frac{4}{y^2 - xy}$. Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два решения: $\frac{5}{3}$ и $1$. Второе решение не подходит, так как знаменатель вышеупомянутой дроби в этом случае равен нулю. Таким образом, $\displaystyle x\frac{5}{3} y$. Из системы уравнений находим, что либо $x=5,y=3$, либо $x=-5,y=-3$. Ответ: $x = 5$; $y = 3$ и $x = - 5$; $y = - 3$. Задача 7 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} x^2y^2+xy-2=0, \\ x^2-5xy+6y^2=0. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. Введем новые переменные $\displaystyle u=\displaystyle\frac{x}{y} \vphantom{\int\limits_-}$ и $\displaystyle v=x\cdot y$. Тогда первое уравнение является квадратным относительно переменной $u$, а второе — относительно $v$: $$ \left\{ {\begin{array}{l} u^2+u-2=0, \\ v^2-5v+6=0, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} u^2+u-2=0, \\ v^2-5v+6=0, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow $$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{l} u=1, \\ u=-2, \end{array}} \right.\\ \left[ {\begin{array}{l} v=2, \\ v=3, \end{array}} \right. \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{l} xy=1, \\ xy=-2, \end{array}} \right.\\ \left[ {\begin{array}{l} \frac{x}{y}=2, \\ \frac{x}{y}=3. \end{array}} \right. \end{array}} \right. $$ Остается рассмотреть все возможные варианты. 1) $$ \left\{ {\begin{array}{l} xy=1, \\ x=2y, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2y^2=1, \\ x=2y, \\ \end{array}} \right. $$ Отсюда имеем два решения: $x=\sqrt 2 ; y=\frac{1}{\sqrt 2}$ и $x=-\sqrt 2 ; y=-\frac{1}{\sqrt 2}$. 2) $$ \left\{ {\begin{array}{l} xy=1, \\ x=3y, \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 3y^2=1, \\ x=3y, \\ \end{array}} \right. $$ Отсюда имеем еще два ре...