Исключение переменных

Задача 1.5 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 2x^2 + y^2 + 7x - 4y = - 1, \\ \displaystyle 3x^2 + 1,5 y^2 + 5x - 0,5y = 4. \\ \end{array}} \right. $$ Решение. {Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2 и вычитаем второе из первого: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 2x^2 + y^2 + 7x - 4y = - 1, \\ \displaystyle 3x^2 + 1,5 y^2 + 5x - 0,5y = 4. \\ \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle 11x-11y =-11, \\ \displaystyle 6x^2+3y^2+10x-y=8. \end{array}} \right.$$ $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x=y -1, \\ \displaystyle 6(y-1)^2+3y^2+10(y-1)-y=8. \end{array}} \right. \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x=y -1, \\ \displaystyle 3y^2-y-4=0. \end{array}} \right. $$ Решаем квадратное уравнение относительно $y$, затем находим из второго уравнения $x$. Ответ: $\displaystyle x=\frac{1}{3}, y=\frac{4}{3}$ или $x=-2, y=-1$. Системы уравнений с модулями вносят в задачи дополнительные технические сложности, потренируемся в их решении. Пример 1.6 \cite{29} МГУ, физический ф-т, 1997 (июль), № 5(8). Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y-|x-3|=1 , \\ \displaystyle |x-y|=3. \end{array}} \right. $$ Решение. { Сложной эту систему не назовешь, но что такое модуль, она помогает вспомнить. По определению модуля $$ |x-y|=3 \Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} \displaystyle x-y=3 , \\ \displaystyle x-y=-3. \end{array}} \right. $$ Отсюда либо $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y-|y|=1, \\ \displaystyle x=y+3, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \mbox{нет решений}, $$ либо $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y-|y-6|=1, \\ \displaystyle x=y-3. \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y+y-6=1, \\ y\leqslant 6\\ \displaystyle x=y-3. \end{array}} \right.\\ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y-y+6=1, \\ y\geqslant 6 \\ \displaystyle x=y-3. \end{array}} \right. \end{array}}\right. \Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} x=0,5,\\ y=3,5 \end{array}}\right. $$ Ответ: $x=0,5;~y=3,5$. } Задача 1.7 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y-|x-2|=2 , \\ \displaystyle |x+y|=5. \end{array}} \right. $$ Решение. { $$ |x+y|=53 \Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} \displaystyle x+y=5 , \\ \displaystyle x+y=-5. \end{array}} \right. $$ Отсюда либо $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y=-5-x, \\ \displaystyle -5-x=|x-2|+2, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \mbox{нет решений}, $$ либо $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y=5-x, \\ \displaystyle 5-x=|x-2|+2. \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y=5-x, \\ x\geqslant 2\\ \displaystyle5- x=x-2+2. \end{array}} \right.\\ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle y=5-x, \\ y\leqslant 2 \\ \displaystyle 5-x=2-x+2. \end{array}} \right. \end{array}}\right. \Longleftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} x=0,5,\\ y=3,5 \end{array}}\right. $$ Ответ: $x=2,5;~y=2,5.$ Задача 1.8 Решите систему уравнений $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle |x+2|+|y-3|=1 , \\ \displaystyle y=3-|x+2|. \end{array}} \right. $$ Решение. {Пусть $x_1=|x+2|, ~x_1\ge 0$, $y_1=y-3$. Тогда система будет иметь следующий вид: $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x_1+|y_1|=1 , \\ x_1\ge 0,\\ \displaystyle y_1=-x_1. \end{array}} \right. $$ Так как $ x_1\ge 0$, $y_1\le 0$. Тогда $$ \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x_1-y_1=1 , \\ x_1\ge 0,\\ \displaystyle y_1=-x_1, \end{array}} \right.\Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle x_1=\frac{1}{2} , \\ \displaystyle y_1=-\frac{1}{2}. \end{array}} \right. $$ Возвращаясь к исходным переменным системы и учитывая, что $x_1=|x+2|$, получаем два решения системы: $x=-1,5$; $y=2,5$ и $x=-2,5$; $y=2,5$. } Ответ: $x=-1,5$; $y=2,5$ и $x=-2,5$; $y=2,5$.