Уравнения и неравенства с параметрами

Задача 1.21. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ x^2+4x-a^2- 2a +3 > 0. $$ Решение Разложим левую часть на простые множители: $$ x^2+4x-a^2- 2a +3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4+a^2+2a-3} = -2 \pm (a+1) \quad \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} &x_1 = a-1 \\ &x_2 = -a-3 \end{aligned} \right. \quad \Rightarrow \quad [x-(a-1)][x-(-a-3)]>0. $$ Рассмотрим 2 случая: 1 случай 2 случай $$ \begin{aligned} 1) \qquad&\left\{ \begin{aligned} &-a-3 \leq a-1 \\ &x \in (-\infty; -a-3) \cup (a-1; +\infty) \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad\fbox{$при a \in [-1;+\infty); \quad x \in (-\infty; -a-3) \cup (a-1; +\infty);$} \\ 2) \qquad&\left\{ \begin{aligned} &-a-3 > a-1 \\ &x \in (-\infty; a-1) \cup (-a-3; +\infty) \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad\fbox{$при a \in (-\infty;-1); \quad x \in (-\infty; a-1) \cup (-a-3; +\infty).$} \end{aligned} $$ Ответ если $a \in (-\infty;-1) $, то $x \in (-\infty;a-1) \cup (-a-3;+\infty)$; если $a=-1$, то $x \ne - 2$; если $a\in (-1;+\infty)$, то $ x \in (-\infty;-a-3) \cup (a-1; +\infty)$. Задача 1.23. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ \left( {x - a - 1} \right) \left( {x + 5a + 2} \right)^2 > 0. $$ Решение Воспользуемся методом интервалов, рассмотрев два случая расположения корней: 1 случай 2 случай $$ \begin{aligned} 1) \qquad&\left\{ \begin{aligned} &-5a-2 \leq a+1 \\ &x \in (a+1; +\infty) \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad\fbox{$при a \in [-1/2;+\infty); \quad x \in (a+1; +\infty);$} \\ 2) \qquad&\left\{ \begin{aligned} &-5a-2 > a+1 \\ &x \in (a+1; -5a-2) \cup (-5a-2; +\infty) \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad\fbox{$при a \in (-\infty;-1/2); \quad x \in (a+1; -5a-2) \cup (-5a-2; +\infty).$} \end{aligned} $$ Ответ если $a \in\left(-\infty; - 1/2\right) $, то $ x \in (a + 1; - 5a - 2)\cup (- 5a - 2;+\infty) $; если $a \in\left[ - 1/2;+\infty \right)$, то $ x \in (a + 1;+\infty) $. Как изменится решение последней задачи, если сделать неравенство нестрогим? Задача 1.24. Условие При всех значениях параметра $a$ решите неравенство $$ \left( {x - a - 1} \right) \left( {x + 5a + 2} \right)^2 \geqslant 0. $$ Решение Воспользуемся методом интервалов, рассмотрев два случая расположения корней. 1 случай 2 случай $$ \begin{aligned} 1) \qquad&\left\{ \begin{aligned} &-5a-2 Ответ если $a \in \left(-\infty; - 1/2\right] $, то $ x \in [a + 1; +\infty) $; если $a \in\left( - 1/2;+\infty\right) $, то $ x \in [ a + 1; +\infty) \cup \{- 5a - 2\} $. В общем случае квадратных уравнений и неравенств часто требуется дополнительное исследование разных случаев не только в зависимости от расположения корней, но и от направления ветвей параболы и знака дискриминанта.