Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения

Пример 3.7 ЕГЭ-2016, пробный вариант, С.Петербург, №14. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ делит боковое ребро $AA_1$ в отношении $AK:KA_1 = 1:2$. Через точки $B$ и $K$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $AC$ и пересекающая ребро $DD_1$ в точке $M$. Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $DD_1$ в отношении $DM:MD_1 = 2:1$. Найдите площадь сечения, если известно, что $AB = 4$, $AA_1 = 6$. Решение. а) Пусть ребро $AA_1 = 3x$, тогда $AK = x$, $KA_1 = 2x$. Построим сечение плоскостью $\alpha$. Соединим точки $B$ и $K$, поскольку они принадлежат одной грани $AA_1B_1B$ (рис. [Fig_Stereo_2_33_s_1] ). Рассмотрим диагональное сечение $(AA_1C_1C)$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(AA_1C_1C)$ будет прямой $ KP_1 \parallel AC$. Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Прямая $OO_1$ лежит в плоскости $(BB_1D_1D)$. Пусть $O_2$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой $OO_1$. Проведём через $O_2$ прямую $BO_2$, получим точку $P_2$. Соединим $K$ и $P_2$, $P_1$ и $P_2$, что завершает построение сечения. В $\triangle B P_2 D$ отрезок $OO_2$ — средняя линия. Так как $OO_2 = x$, то $P_2D = 2 OO_2 = 2x$, следовательно, $P_2D_1 = x$, то есть $P_2$ делит ребро $DD_1$ в отношении $2:1$, считая от точки $D$. б) Так как $AA_1 = 6$, то $x = 2 $. Сечение — это параллелограмм $BKP_2P_1$. Для вычисления его площади найдем $S_{KBP_1}$ и удвоим (рис. [Fig_Stereo_2_33_s_2] ). В прямоугольном $\triangle AKB$ $KB = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$. $\triangle KBP_2$ — равнобедренный с основанием $P_2B = 4\sqrt{3}$ и боковыми сторонами $KB=KP_2=2\sqrt{5}$. Из $\triangle KBO_2$ $BO_2 = \sqrt{BK^2 + KO_2^2} = \sqrt{ \left(2\sqrt 5 \right)^2 - \left(2\sqrt 2 \right)^2} = 2\sqrt 3$. $S_{KBP_1} = \frac{1}{2} BO_2 \cdot KP_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 2 = 4\sqrt 6$. Площадь всего сечения $S = 2 \cdot S_{\triangle KBP_1} = 2 \cdot 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$. Ответ: б) $8\sqrt{6}$. Задача 3.8 В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра $AB = 8$, $AD = 7$, $AA_1 = 5$. Точка $W$ принадлежит ребру $DD_1$ и делит его в отношении $DW:WD_1 = 1:4$, считая от вершины $D$. Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $C,~W$ и $A_1$ — параллелограмм. Найдите площадь этого сечения. Решение. а) Построим сечение. Точки $C$ и $W$ принадлежат одной грани $(DD_1C_1C)$, поэтому мы можем соединить их отрезком $CW$ (рис. [Fig_Stereo_2_35_s_1] ). Поскольку грань $(AA_1B_1B)$ параллельна грани $(DD_1C_1C)$, плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведём через точку $A_1$ прямую, параллельную $CW$, до пересечения с ребром $AB$ в точке $P_1$. Аналогично, плоскость сечения пересекает параллельные грани $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$. Следовательно, прямые, по которым плоскость их пересекает, также параллельны, то есть $A_1W \parallel PC$. В получившемся четырёхугольнике $A_1PCW$ противолежащие стороны попарно параллельны. Следовательно, $A_1PCW$ является параллелограммом по определению. б) Площадь параллелограмма $A_1PCW$ равна удвоенной площади треугольника $\triangle A_1WC$. Найдём стороны этого треугольника. Из условия $DW:WD_1 = 1:4$ и $DD_1 = AA_1 = 5$, получаем $DW = 1$ и $WD_1 = 4$. В прямоугольном $\triangle A_1D_1W$: $$ A_1W = \sqrt{A_1D_1^2 + WD_1^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}. $$ В прямоугольном $\triangle DWC$: $$ WC = \sqrt{DC^2 + DW^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{65}. $$ Поскольку $A_1W = WC$, треугольник $\triangle A_1WC$ является равнобедренным. Найдём длину его основания $A_1C$. $A_1C$ — это диагональ параллелепипеда. $$ A_1C = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{138}. $$ Проведём в равнобедренном $\triangle A_1WC$ высоту $WH$ к основанию $A_1C$. По свойству равнобедренного треугольника, $H$ будет являться серединой $A_1C$. $$ HC = \frac{1}{2}A_1C = \frac{\sqrt{138}}{2}. $$ По теореме Пифагора в $\triangle WHC$ (рис. [Fig_Stereo_2_35_s_2] ): $$ WH = \sqrt{WC^2 - HC^2} = \sqrt{(\sqrt{65})^2 - \left(\frac{\sqrt{138}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{122}}{2}. $$ Площадь $\triangle A_1WC$: $$ S_{\triangle A_1WC} = \frac{1}{2} \cdot A_1C \cdot WH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{138} \cdot \frac{\sqrt{122}}{2} = \frac{\sqrt{4209}}{2}. $$ Площадь сечения (параллелограмма $A_1PCW$) равна: $$ S_{сеч} = 2 \cdot S_{\triangle A_1WC} = 2 \cdot \frac{\sqrt{4209}}{2} = \sqrt{4209}. $$ Ответ: б) $\sqrt{4209}$.