Куб. Построение сечений. Площадь сечения

Решение. а) Обозначим плоскость сечения $\alpha$. Соединим точки $K$ и $M$ (рис. [Stereo_2_12.eps] ). Поскольку плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, то плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $KM$, которая пересекается с прямой $CD$ в точке $Q$. Соединим точки $M$ и $Q$ (рис. [Stereo_2_13.eps] ). Пусть точка $L$ — точка пересечения $MQ$ и $DD_1$. Соединяя точки $L$ и $A$, получим линию пересечения плоскости сечения и плоскости $AA_1D_1$. Плоскость $BB_1C_1$ параллельна плоскости $AA_1D_1$, поэтому линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $BB_1C_1$ параллельна $AL$. Проведем через точку $K$ проведем прямую $KP \parallel LA$. Соединяя точки $P$ и $A$, завершаем построение сечения куба плоскостью $\alpha$. б) Разобьем сечение на $\triangle APL$ и равнобокую трапецию $PKML$. Треугольники $ADQ$ и $BCD$ равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому $QD = DC = a$. Из подобия $\triangle D_1LM$ и $\triangle DLQ$ следует, что $\ds D_1L = \frac{a}{3}$, а $\ds LD = \frac{2}{3} a$. Отрезок $\ds D_1M = \frac{a}{2}$, тогда в $\triangle D_1 ML$ гипотенуза $\ds LM = \frac{\sqrt{13}a}{6}$. В равнобокой трапеции $PKML$ основания $\ds PL = a \sqrt 2$, $\ds KM = \frac{a\sqrt 2}{2}$, высота равна $\ds \frac{a}{6} \sqrt{\frac{17}{2}}$. Тогда площадь трапеции равна $\ds \frac{a^2 \sqrt{17}}{8}$. В $\triangle ADL$ гипотенуза $\ds AL = \frac{a\sqrt{13}}{3}$. Высота $\triangle APL$ равна $\ds \frac{a}{3} \sqrt {\frac{17}{2}}$. Следовательно, $\ds S_{APL} = \frac{a^2 \sqrt{17}}{6}$. Тогда площадь сечения $\ds \frac{7\sqrt{17} a^2}{24}$. Ответ: а) рис. [Stereo_2_11.eps] ; б) $\ds \frac{7\sqrt{17} a^2}{24}$.