Экономические нелинейные задачи часть 1

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. В каждой из областей общий объем работ составит по $20\cdot 10 = 200$ чел-ч в сутки. Пусть в первой области $p$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(200 - p)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $0,1$ кг алюминия или $0,1$ кг никеля. Во второй области $x^2$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $y^2$ чел-ч — на добычу никеля. При этом $x^2+y^2=200$, откуда $y=\sqrt{200-x^2}$. В соответствии с условием, во второй области добываются $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля в обеих областях будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = 0,1 \cdot p + x, \\ m_{Ni} = 0,1 (200 - p) + y. \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $3:1$, получим уравнение $$ 0,1 \cdot p + x = 0,3 (200 - p) + y, $$ откуда выразим $0,4p = 60+3y-x$. Масса сплава равна сумме масс алюминия и никеля $$ M = 0,1 \cdot p + x + 0,1 (200 - p) + y=20+x+y. $$ Изпользуя выражение $y$ через $x$, получим $$ M(x) = 20+x+\sqrt{200-x^2}. $$ Для того, чтобы найти максимально возможное значение массы сплава, найдем производную полученной функции и приравняем ее к нулю: $$ M'(x) = 1+\cfrac{-2x}{2\sqrt{200-x^2}} = 0. $$ Решением этого уравнения является значение $x = 10$ (отрицательный корень не подходит по смыслу), которое обеспечивает максимум массы сплава ($M'(x) > 0$ при $x 10$). Отсюда $M_{max} = M(10) = 40.$ Мы могли бы решить задачу и другим способом, переформулировав ее как задачу с параметром. Рассмотрим выражение для массы сплава вместе с уравнением связи $x$ и $y$ $$ \left\{\begin{array}{l} M = 20+x+y,\\ x^2+y^2=200,\\ \end{array} \right. $$ а также с ограничениями $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$. Нам нужно найти наибольшее возможное значение $M$, при котором есть решение системы с неотрицательными значениями $x$ и $y$. Решим эту задачу графически. Второе уравнение задает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{200}$ (четверть окружности с учетом ограничений на $x$ и $y$). Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $-1$, положение которой зависит от значения параметра $M$. Наибольшее значение $M$, при котором есть решение системы, соотвествует такому положению прямой, в котором она касается дуги окружности. Используем геометричесий подход: проводя радиус в точку касания и вычисляя длину гипотенузы равнобедренного прямоуольного треугольника, найдем $M_{max} = 40$. Ответ: $40$.