Финансовые задачи

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По условию задачи стоимость ценной бумаги возрастает линейно, а сумма на банковском счете растет экспоненциально. Отсюда следует, что если в какой-то момент скорость роста суммы на счете станет больше скорости роста цены бумаги, то и в дальнейшем держать деньги на счете будет выгоднее. Цена бумаги в год с номером $n$ будет равна $p_n=19\,000+3000(n-1)$. Продать ценную бумагу нужно в начале года с таким номером, за который процент по вкладу превысит $3000$ рублей, то есть $0,1p_n \geqslant 3000$ или $p_n \geqslant 30\,000$. Получим неравенство $$19\,000+3000(n-1) \geqslant 30\,000,$$ откуда $n \geqslant \cfrac{14}{3}$, то есть минимальный целый номер года будет равен 5. Следовательно, продавать ценную бумагу нужно в начале пятого года с момента ее покупки, что соответствует началу 2005 года. Ответ: в начале 2005 года. Решение. Пусть акции проданы в конце года $t$ за $t^2$ тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся $20 - t$ лет под $25%$ годовых. Тогда сумма на счете в конеце срока составит (в тыс. руб.) $$S(t) = t^2 \cdot 1,25^{20 - t}.$$ Нужно определить наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных значений $t\leqslant 20$. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим $t_0$ — точку возможного экстремума: $$S'(t)=2t \cdot 1,25^{20 - t}-t^2\cdot 1,25^{20 - t}\ln 1,25=0,$$ откуда $$t_0=\frac{2}{\ln 1,25}.$$ Так как $S'(t)>0$ при $t t_0$, а в точке $t_0$ производная равна нулю, то $t_0$ — точка максимума, причем она единственная. Значит, функция $S(t)$ при увеличении $t$ ($t>0$) сначала возрастает, затем убывает. Поскольку нас интересует целый номер года $t$, то он не попадет в точку максимума, но будет где-то рядом. При этом если выгодно продать именно в год с номером $t$, то значение $t-1$ обязательно находится на промежутке возрастания функции $S(t)$, а значение $t+1$ — на промежутке ее убывания. Для гарантии того, что именно номер $t$ является оптимальным, нам достаточно потребовать выполнения двух условий: $$ \left\{\begin{array}{l} S(t+1) Ответ: в конце девятого года.