Экономические линейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекочас (чел-ч). На первой шахте общий объем работ составит $60\cdot 5 = 300$ чел-ч в день, а на второй $260\cdot 5 =1300$ чел-ч. Пусть в первой шахте $x$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(300 - x)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $2$ кг алюминия или $3$ кг никеля. Во второй шахте $y$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(1300 - y)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на второй шахте приносит $3$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = 2x + 3y, \\ m_{Ni} = 3(300 - x) + 2(1300 - y). \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $2:1$, получим уравнение $$ 2x + 3y = 2 (3(300 - x) + 2(1300 - y)), $$ откуда $y = 1000 - \cfrac{8}{7} x$. Масса сплава равна сумме масс алюминия и никеля, следовательно, $$ M = 2x + 3y + 3(300 - x) + 2(1300 - y) - y = 3500 - x + y= 3500-x+1000 - \cfrac{8}{7} x=4500-\cfrac{15}{7} x. $$ Масса произведенного сплава является линейно убывающей функцией переменной $x$. Значит, для максимальной массы сплава величина $x$ должна быть минимально возможной. По смыслу задачи величины $x$ и $y$ должны принимать неотрицательные значения, удовлетворяющие условиям $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 300,\\ 0 \leqslant y \leqslant 1300,\\ \end{array} \right. $$ кроме этого из условия связи $x$ и $y$ и этих ограничений следует еще одно неравенство $1000-\cfrac{8}{7}\cdot 300\leqslant y \leqslant 100$. Отсюда, выбирая величину $x$ минимально возможной $x=0$, получим $M = 4500$ кг. Ответ: $4500$ кг. Решение. Пусть $S$ — сумма денег, выделенная бригаде, $N$ — количество грузчиков в бригаде ($N$ — натуральное число, большее, чем 3). Тогда из условия задачи следует, что $$ \left\{\begin{array}{l} \cfrac{S}{N} = \cfrac{S}{N-3}-1500, \\ 1200\leqslant 0,05 S\leqslant 1600. \end{array}\right. $$ Неравенство дает нам ограничения $24000\leqslant S\leqslant 32000$. Преобразовав уравнение, содержащееся в системе, получим: $$ S=500N(N-3).$$ Тогда из неравенства следует, что $$ 24000\leqslant 500N(N-3)\leqslant 32000. $$ Решая систему квадратных неравенств, получаем, что $N$ находится в диапазоне примерно от $8,5$ до $9,5$ следовательно, $N=9$. Отсюда $S=500\cdot 9 \cdot 6 =27000$ рублей. Ответ: $27000$ рублей.