Кредиты. Дифференцированные платежи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Решение. По данным задачи составим таблицу, в которой будет три столбца: долг с процентами, выплаты и остаток долга. Обозначим год, в который планируется взять кредит, за нулевой, а исходную сумму долга — за $A$. Пусть $x$ — сумма, на которую каждый год уменьшается остаток долга. В нулевом году остаток долга равен исходной сумме долга $A$, в первом $A-x$, во втором $A-2x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x$, а в $n$-м $A-nx=0$, так как к концу $n$-го года долг будет выплачен полностью. Отсюда $A=nx$, и все остатки долга мы теперь можем выразить через величину $x$: остаток долга в нулевом году равен $A=nx$, в первом $A-x=(n-1)x$, во втором $A-2x=(n-2)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $A-(n-1)x=x$, в $n$-м $A-nx=0$. Так как процентная ставка равна $25%$, а проценты всегда начисляются на предыдущий остаток долга, то в первом году долг с процентами будет равен $nx+0,25\cdot nx$, во втором $(n-1)x+0,25\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $2x+0,25\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,25\cdot x$. Выплаты в каждый год представляют собой разность между долгом с процентами в этом году и отстатком долга, который должен остаться после выплаты. Таким образом, выплата в первом году равна $x+0,25\cdot nx$, во втором $x+0,25\cdot (n-1)x$, и так далее, в $(n-1)$-м $x+0,25\cdot 2x$ и в $n$-м $x+0,25\cdot x$. долг с % выплаты остаток долга 0-й $nx$ 1-й $nx+0,25\cdot nx$ $x+0,25\cdot nx$ $(n-1)x$ 2-й $(n-1)x+0,25\cdot (n-1)x$ $x+0,25\cdot (n-1)x$ $(n-2)x$ … … … … (n-1)-й $2x+0,25\cdot 2x$ $x+0,25\cdot 2x$ $x$ n-й $x+0,25\cdot x$ $x+0,25\cdot x$ $0$ По условию наименьший годовой платёж составит $1,25$ млн рублей. Поскольку последовательность выплат составляет убывающую арифметическую прогрессию, наименьший годовой платёж — это платеж в последнем $n$-м году. Тогда $x+0,25\cdot x=1,25$ млн руб., откуда $x=1$ млн руб. Подставив найденное значение $x$ в уравнение $A=nx$ и учитывая, что по условию $A=9$ млн руб., найдем $n=9$ лет. Пусть $S$ — общая сумма выплат. Для вычисления общей суммы выплат сложим все выражения, указанные в столбце с выплатами, причем для удобства сложим сначала все первые слагаемые, а затем все вторые. Тогда $$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n-1}+S_{n}=nx+0,25\cdot(x+2x+\ldots +(n-1)x+nx)=$$ $$=A+0,25\cdot x\cdot \cfrac{1+n}{2}\cdot n=A+0,25\cdot A\cdot \cfrac{1+n}{2}=9+0,25\cdot 9\cdot \cfrac{1+9}{2}=20,25 млн руб.,$$ где учтено, что $A=nx$, и использована формула суммы арифметической прогрессии. Ответ: $20,25$ млн руб.